技術的な計数技術、アプリケーションと例



の 計数テクニック オブジェクトのセットまたはいくつかのセット内の配置の可能な数を数えるための一連の確率方法です。これらは、オブジェクトや変数の数が多いためにアカウントを手動で作成するのが複雑になった場合に使用されます。.

たとえば、この問題の解決策は非常に簡単です。あなたの上司があなたに最後の1時間以内に到着した最後の製品を数えるように頼むと想像してください。この場合は、製品を1つずつ数えていくことができます。.

しかし、問題はこれだと想像してみてください：あなたの上司はあなたが最後の時間に到着した人たちと同じタイプの5つの製品からなるグループをいくつ作ることができるかあなたに尋ねます。この場合、計算が複雑になります。このような状況では、いわゆるカウント技法が使用されます。.  

これらのテクニックはいくつかありますが、最も重要なのは乗法と加法の2つの基本原則に分けられます。順列と組み合わせ.

索引

  • 1つの乗法原理
    • 1.1アプリケーション
    • 1.2例
  • 2添加剤の原則 
    • 2.1アプリケーション
    • 2.2例
  • 3順列
    • 3.1アプリケーション
    • 3.2例
  • 4組み合わせ
    • 4.1アプリケーション
    • 4.2例
  • 5参考文献 

乗法原理

アプリケーション

乗法原理は、加法とともに、計数技法の動作を理解するための基本です。乗法の場合、それは以下からなる：

最初のステップがN1形式、2番目のステップがN2、およびステップ "r"がNr形式で構成できる、特定のステップ数（合計は "r"とマークされています）を含むアクティビティを想像してください。この場合、アクティビティは、この操作から生じるフォームの数から実行することができます。N1 x N2 x ...。x Nr forms

だからこそ、この原則は乗法的と呼ばれており、活動を実行するために必要なすべてのステップを次々に行わなければならないことを意味しています。. 

例

学校を建てたい人を想像してみましょう。これを行うには、建物の基礎をセメントとコンクリートの2つの異なる方法で構築できると考えます。壁に関しては、それらはadobe、セメントまたは煉瓦から成っていることができます.

屋根に関してはそれはセメントまたは電流を通されたシートから組み立てることができる。最後に、最終的な絵は一方通行でしかできません。問題は次のとおりです。学校はいくつの方法で建設する必要がありますか。?

まず、ステップ数を考えます。それは、ベース、壁、屋根、そして絵画です。全部で4ステップ、つまりr = 4.

以下はNをリストすることです：

N1 =ベースを構築する方法= 2

N2 =壁の作り方= 3

N3 =屋根の作り方= 2

N4 =ペイントの作り方= 1

したがって、可能な形式の数は上記の式によって計算されます。

N1×N2×N3×N4 = 2×3×2×1 = 12の方法で学校を修了.

添加剤の原則

アプリケーション

この原則は非常に単純で、同じ活動を実行するための既存のいくつかの代替案の場合、可能な方法はすべての代替案を作成するためのさまざまな可能な方法の合計からなるということです。.

つまり、最初の選択肢をM形式で、2番目の選択肢をN形式で、最後の選択肢をW形式で実行できる3つの選択肢を使用してアクティビティを実行する場合、アクティビティは次のようになります。.

例

今度はテニスラケットを買いたい人を想像してみてください。このために、それはから選択する3つのブランドがあります：ウィルソン、バボラまたはヘッド.

彼が店に行くとき、彼はウィルソンラケットが2つの異なるサイズ、4つの異なるモデルのL2かL3のハンドルで買われることができて、ひもでつながれることなくかまわれることができるのを見ます.

Babolatラケットは、その一方で、3つのハンドル（L1、L2およびL3）を持っています、2つの異なるモデルがあります、そしてそれはまた張られるか、またはひもなしであることができます.

ヘッドラケットは、その一方で、1つのハンドル、L2、2つの異なるモデルで、そしてひもなしでのみあります。問題は、この人が自分のラケットを購入する方法はいくつあるかということです。?

M =ウィルソンラケットを選択する方法の数

N =バボララケットの選び方

W =ヘッドラケットを選択する方法の数

乗数の原理を作る：

M = 2 x 4 x 2 = 16

N = 3 x 2 x 2 = 12

W = 1 x 2 x 1 = 2

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30通りのラケットを選ぶ.

乗法原理と加法をいつ使用するかを知るためには、アクティビティが実行されるべき一連のステップを持っているかどうかを調べなければなりません。.

順列

アプリケーション

順列が何であるかを理解するためには、それらを区別し、いつそれらを使用するかを知るために、組み合わせが何であるかを説明することが重要です。.

組み合わせとは、それぞれが占める位置に興味がない要素の配置です。.

一方、順列は、それぞれが占める位置に関心がある要素の配置です。.

違いをよりよく理解するために例を挙げましょう。.

例

次のような状況で、35人の生徒がいるクラスを想像してください。

  1. 教師は、必要なときに3人の生徒がクラスを清潔に保ち、他の生徒に教材を届けるのを手助けすることを望んでいます。.
  2. 教師はクラス代議員（会長、助手、および資金調達者）を任命したい.

解決策は次のようになります。

  1. Juanに投票することによって、MaríaとLucíaがクラスをきれいにするか、材料を配達するために選ばれると想像してください。明らかに、35人の可能性のある学生のうち、3人の他のグループが形成された可能性があります。.

私たちは次のことを自問しなければなりません。それは、生徒を選ぶときに各生徒が占める順番や位置は重要ですか。?

我々がそれについて考えるならば、我々はそれが本当に重要ではないと考えます、なぜならグループは両方の仕事を等しく扱うでしょうから。この場合、要素の位置には関係ないので、これは組み合わせです。.

  1. ジョンが大統領として、マリアが助手として、そしてルチアが財務として選ばれたとしましょう。.

この場合、順序は重要ですか？答えは「はい」です。要素を変えると結果が変わるからです。つまり、Juanを社長にする代わりに、Juanを助手に、Mariaを社長にした場合、最終的な結果は変わります。この場合、それは順列です.

違いが理解されると、我々は順列と組み合わせの式を得るでしょう。ただし、最初に「n！」という用語を定義しなければなりません（階乗で）。これは、さまざまな式で使用されるためです。.

n！= 1からnまでの積に.

n！= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

実数でそれを使う：

10！= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5！= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

順列の式は次のようになります。

nPr = n！/（n-r）!

それによって、順序が重要であり、n個の要素が異なる場合の配置を見つけることができます。.

組み合わせ

アプリケーション

前にコメントしたように、組み合わせは要素の位置を気にしない配置です。.

その式は次のとおりです。

nCr = n！/（n-r）！r!

例

ボランティアで教室の掃除をしたいと思う生徒が14人いる場合、5人で各グループを形成できる清掃グループはいくつですか。?

したがって、解決策は次のようになります。

n = 14、r = 5

14 C 5 = 14！ /（14 - 5）！5！ = 14！ / 9！5！ = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9！/ 9！5！= 2002グループ

参考文献

  1. ジェフリー、RC., 確率と判断の芸術, ケンブリッジ大学出版局。 （1992）.
  2. ウィリアム・フェラー, 「確率論とその応用の紹介」"、（Vol 1）、3rd Ed、（1968）、ワイリー
  3. フィネッティ、ブルーノ・デ（1970）. 「論理的基礎と主観的確率の測定」. 心理法.
  4. ロバートＶ．クレイグ、アレン。マッキーン、ジョセフW.（2004）. 数学統計学の紹介 （第6版）。アッパーサドルリバー：ピアソン.
  5. Franklin、J.（2001） 推測の科学：パスカルの前の証拠と確率,ジョンズホプキンス大学出版局.