多項式（解の練習問題付き）

の 多項式 2つの式またはメンバーの同等性を高めるステートメントです。ここで、同等性の各側面を構成する用語の少なくとも1つは多項式P（x）です。これらの方程式は、それらの変数の次数に従って命名されています.

一般に、方程式は2つの式の等式を確立するステートメントです。これらのうちの少なくとも一方には、変数または未知数と呼ばれる未知の量があります。多くの種類の方程式がありますが、それらは一般的に2つのタイプに分類されます：代数と超越.

多項式には代数式しか含まれていません。代数式には1つ以上の未知数が含まれている可能性があります。指数（度）に応じて、1次（線形）、2次（2次）、3次（3次）、4次（4次）、5以上、不合理に分類できます。.

索引

• 1特徴
• 2種類
  • 2.1 1年生
  • 2.2第二度
  • 2.3リゾルバ
  • 2.4より高い等級
• 3練習問題が解決しました
  • 3.1最初の練習
  • 3.2 2回目の演習
• 4参考文献

特徴

多項式は、2つの多項式間の等式によって形成される式です。つまり、未知の値（変数）と固定数（係数）との間の乗算の有限合計によって、変数は指数を持ち、その値はゼロを含む正の整数になります。.

指数は方程式の次数または種類を決定します。最大値の指数を持つ式の項は、多項式の絶対次数を表します。.

多項式は代数方程式としても知られており、それらの係数は実数または複素数であることができ、変数は文字で表される未知数であり、例えば、 "x".

P（x）の変数 "x"に値を代入すると、結果はゼロ（0）に等しくなり、この値は方程式を満たす（解である）と言われ、一般に多項式の根と呼ばれます。.

多項式が展開されたら、すべての根または解を求めたい.

タイプ

多項式にはいくつかの種類があり、それらは変数の数によって、また指数の次数によっても区別されます。.

したがって、次数が任意の自然数（n）で2番目の項がゼロであることを考慮すると、最初の項が未知数が1つだけの多項式である多項式は、次のように表すことができます。

ある_{n *} ×ⁿ + ある_{n-1 *} ×^n-1 +... + a_{1 *} ×¹ + ある_{0 *} ×₀ = 0

どこで：

- ある_n, ある_n-1 そして₀, それらは実数係数です。.

- ある_n ゼロと違います.

- 指数nは、方程式の次数を表す正の整数です。.

- xは、探すべき変数または未知数です。.

多項式の絶対値以上は、多項式を構成するすべてのもののうち、より大きい値の指数です。このように、方程式は次のように分類されます。

一年生

一次多項式は線形方程式とも呼ばれ、次数（最大指数）が1に等しいもので、多項式はP（x）= 0の形式です。そしてそれは線形項と独立項で構成されています。それは次のように書かれています：

ax + b = 0.

どこで：

- aとbは実数で、a≠0.

- axは線形項です.

- bは独立項です.

たとえば、方程式13x - 18 = 4x.

線形方程式を解くには、未知のxを含むすべての項を等式の片側に渡す必要があり、持っていない項はそれをクリアして解を得るために反対側に移動します。

13倍 - 18 = 4倍

13倍= 4倍+ 18

13倍 - 4倍= 18

9倍= 18

x = 18÷9

x = 2.

このように、与えられた方程式はx = 2である単一の解または根を持ちます。.

2年生

2次方程式としても知られる2次多項式は、次数（最大指数）が2に等しく、多項式がP（x）= 0の形式であり、2次項で構成されているものです。 1つは線形、もう1つは独立です。次のように表現されます。

斧² + bx + c = 0.

どこで：

- a、b、cは実数で、a≠0.

- 斧² は2次項で、 "a"は2次項の係数です。.

- bxは線形項で、 "b"は線形項の係数です。.

- cは独立項です.

解決策

一般に、このタイプの方程式の解は方程式からxを消去することによって与えられ、それは以下のように残されます。これはリゾルバと呼ばれます。

そこに、（b² - 4ac）は方程式の判別式と呼ばれ、この式は方程式が持つことができる解の数を決定します。

- はい（b² - 4ac）= 0の場合、方程式は二重の単一解を持ちます。つまり、2つの等しい解決策があります。.

- はい（b² - 4ac）> 0、方程式には2つの異なる実数解があります.

- はい（b² - 4ac） < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

たとえば、次の方程式があります。² + 10x - 6 = 0、それを解決するには、まず項a、b、cを識別してから、次の式で置き換えます。

a = 4

b = 10

c = -6.

2次の多項方程式に3つの項がない場合があります。そのため、それらが異なる方法で解かれます。

- 二次方程式が線形項を持たない（すなわち、b = 0）場合、方程式は次のように表されます。² + それを解決するために、それはクリアされるx² そして、平方根が各メンバーに適用され、未知のものが持つことができる2つの可能な徴候が考慮されることを思い出してください：

斧² + c = 0.

ײ = - c÷a

例えば、5 x² - 20 = 0.

5ײ = 20

ײ = 20÷5

x =±√4

x =±2

×₁ = 2.

×₂ = -2.

- 二次方程式が独立項を持たない（すなわち、c = 0）とき、方程式は次のように表されます。² + bx =0。これを解くために、最初の要素の未知のxの共通因子を抽出しなければなりません。この式はゼロに等しいので、少なくとも1つの要素が0になることは事実です。

斧² + bx = 0.

x（ax + b）= 0.

そのように、あなたはしなければなりません：

x = 0.

x = -b÷a.

たとえば、次のようになります。² + 30倍=0。最初の要素：

5倍² + 30倍= 0

x（5x + 30）= 0.

xと（5x + 30）の2つの要素が生成されます。これらのうちの1つがゼロに等しくなり、他の解が与えられると考えられます。

×₁ = 0.

5倍+ 30 = 0

5倍= -30

x = -30÷5

×₂ = -6.

専攻

次数が大きい多項方程式は、3次以上の方程式であり、次の一般多項式で表現または解くことができます。

ある_{n *} ×ⁿ + ある_{n-1 *} ×^n-1 +... + a_{1 *} ×¹ + ある_{0 *} ×₀ = 0

これは、次数が2より大きい方程式が多項式の因数分解の結果であるために使用されます。つまり、1次以上の多項式の乗算として表現されますが、実根は含まれません。.

このタイプの方程式の解は直接的です。2つの因子の乗算は、いずれかの因子がnull（0）の場合、0になります。したがって、見つかった各多項式は、その各要素をゼロに一致させて解く必要があります。.

たとえば、3次（立方）xの方程式があります。³ + ײ +4x + 4 =0。これを解決するには、次の手順に従う必要があります。

- 用語はグループ化されています。

׳ + ײ +4x + 4 = 0

（x³ + ײ ）+（4x + 4）= 0.

- 四肢は未知の共通因子を得るために分解されます。

ײ （x + 1）+ 4（x + 1）= 0

（x² + 4）_*（x + 1）= 0.

- このようにして、2つの係数が得られます。これらはゼロに等しくなければなりません。

（x² + 4）= 0

（x + 1）= 0.

- 因数（x）² + 4）= 0は実際の解を持ちませんが、係数（x + 1）= 0はそうです。したがって、解決策は次のとおりです。

（x + 1）= 0

x = -1.

解決した演習

以下の方程式を解いてください。

最初の運動

（2倍² + 5）_*（x - 3）_*（1 + x）= 0.

解決策

この場合、方程式は多項式の乗算として表されます。つまり、因数分解されています。それを解くためには、各因子はゼロに等しくなければなりません。

- 2倍² + 5 = 0、解がない.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

したがって、与えられた方程式は2つの解を持ちます：x = 3とx = -1.

セカンドエクササイズ

×⁴ - 36 = 0.

解決策

それは多項式を与えられ、それはより速い解を得るために平方の差として書き直すことができます。したがって、方程式は残ります。

（x² + 6）_*（x² - 6）= 0.

方程式の解を見つけるために、両方の係数はゼロに等しいです。

（x² + 6）= 0、解がない.

（x² - 6）= 0

ײ = 6

x =±√6.

したがって、初期方程式には2つの解があります。

x =√6.

x = - √6.

参考文献

1. Andres、T.（2010）。数学オリンピアードトレジャー。スプリンガーニューヨーク.
2. Angel、A. R.（2007）。初等代数ピアソン教育,.
3. Baer、R.（2012）。線形代数と射影幾何クーリエコーポレーション.
4. Baldor、A.（1941）。代数ハバナ：文化.
5. Castaño、H. F.（2005）。計算前の数学メデリン大学.
6. CristóbalSánchez、M.R。（2000）。オリンピック準備のための数学マニュアル。ジャウメ1世大学.
7. KreemlyPérez、M. L.（1984）。優れた代数I.
8. Ｍａｓｓａｒａ、Ｎ．Ｃ。 （1995）。数学3.