因数分解法とその例

の 因数分解 多項式を因子の乗算の形で表現する方法で、数字、文字、またはその両方を使用できます。項に共通する因子を因数分解するためにグループ化され、このようにして多項式はいくつかの多項式に分解されます。.

したがって、因子が互いに乗算すると、結果は元の多項式になります。因数分解は代数式がある場合に非常に便利な方法です。なぜならそれはいくつかの単純な項の乗算に変換できるからです。例えば：2a² + 2ab = 2a _* （a + b）.

項間に共通の要素がないため、多項式を因数分解できない場合があります。したがって、これらの代数式はそれら自身と1の間でのみ割り切れます。例えば：x + y + z.

代数式では、共通因子はそれを構成する項の最大公約数です。.

索引

• 1因数分解法
  • 1.1共通因子による因数分解
  • 1.2例1
  • 1.3例2
  • 1.4グループ化による因数分解
  • 1.5例1
  • 1.6検査によるファクタリング
  • 1.7例1
  • 1.8例2
  • 1.9注目すべき製品を使ったファクタリング
  • 1.10例1
  • 1.11例2
  • 1.12例3
  • 1.13 Ruffiniの法則による因数分解
  • 1.14例1
• 2参考文献

因数分解法

ケースに応じて適用されるいくつかの因数分解法があります。これらのいくつかは次のとおりです。

共通因子による因数分解

この方法では、一般的な要因が特定されます。つまり、表現の観点から繰り返されるものです。次に分布特性が適用され、最大公約数が削除され、因数分解が完了します。.

言い換えれば、共通の発現因子が同定され、各用語がそれに分けられます。結果として得られる項は、因数分解を表すために最大公約数で乗算されます。.

例1

係数（b²x）+（b²y）.

解決策

まず、各項に共通する要素があります。この場合、それはbです。², そして、用語は次のように共通の要素に分けられます。

（b²x）/ b² = x

（b²y）/ b² = y.

因数分解は、共通因子に結果の項を掛けて表現されます。

（b²x）+（b²y）= b² （x + y）.

例2

因数分解（2a）²b³）+（3ab）²）.

解決策

この場合、それぞれの用語で繰り返される2つの要因があります。それは "a"と "b"であり、それらはべき乗です。それらを因数分解するために、最初に2つの用語はそれらの長い形式に分解されます：

2_*ある_*ある_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

因子「ａ」は第２項で１回だけ繰り返され、因子「ｂ」はその中で２回繰り返されることが分かる。そのため、最初の項には2という因数 "a"と "b"しかありません。第二期には3しかない.

したがって、画像に見られるように、 "a"と "b"が繰り返され、それぞれの項から取り残された要素で乗算される時間を書きます。

グループ化による因数分解

すべてのケースで多項式の最大公約数が明確に表現されているわけではないので、多項式を書き換えてファクタを因数分解できるようにするには他のステップを実行する必要があります。.

これらのステップの1つは、多項式の項をいくつかのグループにグループ化してから、共通因子法を使用することです。.

例1

係数ac + bc + ad + bd.

解決策

2つが共通している4つの要因があります。最初の用語では「c」、2番目の用語では「d」です。このようにして、2つの用語はグループ化され、分離されています。

（ac + bc）+（ad + bd）.

次のように、各因子をその共通因子で除算し、その共通因子に結果として得られる用語を掛けて、共通因子法を適用することができます。

（ac + bc）/ c = a + b

（ad + bd）/ d = a + b

c（a + b）+ d（a + b）.

これで、両方の用語に共通の二項式が得られます。因数分解するには、それに残りの係数を掛けます。そのようにあなたがしなければならない：

ac + bc + ad + bd =  （c + d） _* （a + b）.

検査による因数分解

この方法は、3項式とも呼ばれる2次多項式の因数分解に使用されます。つまり、斧として構成されているもの² ±bx + c、ここで、 "a"の値は1とは異なります。この方法は、3項式の形式がxの場合にも使用されます。² ±bx + cおよび "a"の値= 1.

例1

ファクターx² + 5x + 6.

解決策

あなたはxの形の二次三項を持つ² ±ｂｘ ＋ ｃ。最初に因数分解するには、乗算すると結果として "c"の値（つまり6）が得られ、その合計が係数 "b"の5に等しい2つの数を見つける必要があります。これらの数は2と3です。 ：

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

このように、式は次のように単純化されています。

（x² + 2x）+（3x + 6）

各用語は因数分解されています。

- （xの場合² + 2x）共通項が抽出されます。x（x + 2）

- （3x + 6）= 3（x + 2）の場合

したがって、式は残ります。

x（x + 2）+ 3（x + 2）.

一般的な二項式があるので、式を減らすにはこれに余剰項を掛けてください。

ײ + 5x + 6 =（x + 2） _* （x + 3）.

例2

ファクター4a² + 12a + 9 = 0.

解決策

あなたは斧の形の二次三項式を持つ² ±bx + cそれを因数分解するために、すべての式はxの係数で乗算されます²;この場合、4.

4a² + 12a + 9 = 0

4a² （4）+ 12a（4）+ 9（4）= 0（4）

16² + 12a（4）+ 36 = 0

4² ある² + 12a（4）+ 36 = 0

今度は2つの数を見つけなければなりません、一緒に掛けられたとき、結果として「c」の値（36）と一緒に加えられるとき、それは6である用語「a」の係数をもたらします.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

このように、式は次のことを考慮して書き直されます。² ある² = 4a _* 4a。したがって、分配特性は各項に適用されます。

（4a + 6） _* （4a + 6）.

最後に、式は次の係数で除算されます。²;つまり、4：

（4a + 6） _* （4a + 6）/ 4 =（（4a + 6）/ 2） _* （（4a + 6）/ 2）.

式は次のとおりです。

4a² + 12a + 9 =（2a + 3） _* （2a + 3）.

優れた製品を使ったファクタリング

前の方法で多項式を完全に因数分解するためには、非常に長いプロセスになる場合があります。.

そのため、注目すべき製品の公式を使って式を作成できるため、プロセスが簡単になります。最も使用されている注目すべき製品は次のとおりです。

- 2つの正方形の違い：（a² - b²）=（a - b） _* （a + b）

- 合計の完全な二乗：a² + 2ab + b² =（a + b）²

- 違いの完全な二乗：a² - 2ab + b² =（a - b）²

- 2つの立方体の違い：³ - b³ =（a-b）_*（a² + ab + b²）

- 2つの立方体の合計：³ - b³ =（a + b） _* （a² - ab + b²）

例1

ファクター（5² - ײ）

解決策

この場合、2つの正方形の違いがあります。したがって、注目すべき製品の公式が適用されます。

（a² - b²）=（a - b） _* （a + b）

（5² - ײ）=（5 - x） _* （5 + x）

例2

16倍² + 40倍+ 25²

解決策

この場合、二乗した2つの項を識別でき、残りの項は2に最初の項の平方根、2番目の項の平方根を乗算した結果であるため、和の完全な二乗が得られます。.

ある² + 2ab + b² =（a + b）²

因数分解するために、第1項と第3項の平方根のみが計算されます。

√（16倍²）= 4倍

√（25²= 5.

次に、結果として得られる2つの項を演算の符号で区切り、多項式全体を二乗します。

16倍² + 40倍+ 25² =（4x + 5）².

実施例３

ファクター27a³ - b³

解決策

この式は、2つの要素が立方体に引き上げられる減算を表します。それらを因数分解するために、立方体の差の注目すべき積の公式が適用されます。

ある³ - b³ =（a-b）_*（a² + ab + b²）

したがって、因数分解するために、二項式の各項の3乗根が抽出され、最初の項の二乗、最初の項と二番目の項の積、および二番目の項と二乗の積が掛けられます。.

27a³ - b³

³√（27a³）= 3a

³√（-b³）= -b

27a³ - b³ =（3a - b） _* [（3a）² + 3ab + b²）]

27a³ - b³ =（3a - b） _* （9a² + 3ab + b²）

ルフィニの法則による因数分解

このメソッドは、次数がより小さい複数の多項式に表現を単純化するために、2より大きい多項式がある場合に使用されます。.

例1

係数Q（x）= x⁴ - 9倍² + 4倍+ 12

解決策

最初に12の約数である数を調べてください。これは独立した用語です。これらは、±1、±2、±3、±4、±6、および±12です。.

それから、xはこれらの値によって最低から最高まで置換され、従ってどの値で除算が正確になるかが決定されます。つまり、残りは0でなければなりません。

x = -1

Q（-1）=（-1）⁴ - 9（-1）² + 4（-1）+ 12 = 0.

x = 1

Q（1）= 1⁴ - 9（1）² + 4（1）+ 12 = 8≠0.

x = 2

Q（2）= 2⁴ - 9（2）² + 4（2）+ 12 = 0.

そして、各分割線についても同様です。この場合、発見された因子はx = -1とx = 2に対するものです。.

ここでRuffini法が適用され、それに従って式の係数は、除算が正確になるように見つけられた因子の間で分割されます。多項式の項は、最高指数から最低指数の順に並べられています。シーケンス内の次の次数の項が欠落している場合は、代わりに0が配置されます。.

次の図に示すように、係数はスキームに配置されています。.

最初の係数は引き下げられ、除数で乗算されます。この場合、最初の約数は-1で、結果は次の列に配置されます。次に、得られた結果と垂直方向に係数の値が加算され、結果が下に配置されます。そのようにしてプロセスは最後の列まで繰り返される.

それから同じ手順が再び繰り返されますが、式はまだ単純化できるので2番目の約数（2）を使います。.

したがって、得られた各根について、多項式は項（x - a）を持ちます。ここで、 "a"は根の値です。

（x - （-1）） _* （x - 2）=（x + 1） _* （x - 2）

一方、これらの用語には、等級を表す要素であるRuffiniの規則1：1と-6の残りの部分を掛けなければなりません。このようにして形成される式は次のとおりです。（x² + x - 6）.

Ruffini法による多項式の因数分解の結果は、次のようになります。

×⁴ - 9倍² + 4x + 12 =（x + 1） _* （x - 2） _* （x² + x - 6）

最後に、前の式に現れる次数2の多項式は、（x + 3）（x-2）と書き換えることができます。したがって、最終的な分解は次のようになります。

×⁴ - 9倍² + 4x + 12 =（x + 1） _* （x - 2）_*（x + 3）_*（x-2）.

参考文献

1. Arthur Goodman、L.H。（1996）。解析幾何学による代数と三角法ピアソン教育.
2. J、V.（2014）。多項式への因数分解について子供に教える方法.
3. Manuel Morillo、A. S.（s.f.）。アプリケーションを使った基礎数学.
4. Ｌｏｅｌｓｅ、Ｐ．Ｌ。（１９９７）。有限体上の多項式因数分解のための線形法理論と実行エッセン大学.
5. Sharpe、D.（1987）。環と因数分解.