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乗法的原理カウント技法と例
の 乗法原理 それはその要素を列挙することを必要とせずに解決策を見つけるために数え上げ問題を解くために使われるテクニックです。組み合わせ分析の基本原理としても知られています。イベントがどのように発生する可能性があるかを判断するための逐次乗算に基づきます.
この原則は、決定が1）nの方法で別の決定をすることができます（d）2）m個の方法で、決定を下すことができる方法の総数1 そしてd2 nの倍数に等しくなります * メートル。原則によると、各決定は次々に行われます。ウェイ数= N1 * N2... * N× 方法.
索引
- 1例
- 1.1例1
- 1.2例2
- 2カウントテクニック
- 2.1追加の原則
- 2.2順列の原理
- 2.3組み合わせの原則
- 3練習問題が解決しました
- 3.1演習1
- 3.2演習2
- 4参考文献
例
例1
ポーラは彼女の友達と一緒に映画を見に行く予定です、そして彼女が着る服を選ぶために、私は3つのブラウスと2つのスカートを分けます。ポーラはいくつの方法でドレスアップできますか？?
解決策
この場合、Paulaは2つの決定を下さなければなりません。
日1 =ブラウス3枚から選ぶ= n
日2 = 2枚のスカートから選択= m
そのようにポーラはn * ドレッシングの決定またはさまざまな方法.
n * m = 3* 2 = 6つの決断.
乗法的原理はツリーダイアグラムのテクニックから来ています。それはすべての可能な結果を関係づけるダイアグラムであるので、それぞれは有限の回数発生することができます.
例2
マリオは非常にのどが渇いていたので、彼はジュースを買うためにパン屋に行きました。ルイスは彼に答えて、彼には2つのサイズがあると伝えます。そして4つの味：りんご、オレンジ、レモンそしてぶどう。マリオはジュースを選ぶことができるいくつの方法があります?
解決策
ダイアグラムでは、マリオがジュースを選択するための8つの異なる方法を持っていること、そして乗法原理のように、この結果はnの乗法によって得られることがわかります。*メートル。唯一の違いは、このダイアグラムを通して、マリオがジュースを選ぶ方法がどのようにあるかを知ることができるということです。.
一方、可能な結果の数が非常に多い場合は、乗法原理を使用することがより実用的です。.
カウント手法
カウント技法は、直接カウントを行うために使用される方法であり、したがって特定のセットの要素が持つことができる可能な配置の数を知っています。これらのテクニックはいくつかの原則に基づいています。
加算の原則
この原則は、2つのイベントmとnが同時に発生することができない場合、最初のイベントまたは2番目のイベントが発生する可能性があるウェイの数は、m + nの合計になることを示しています。
フォームの数= m + n ... + xの異なるフォーム.
例
Antonioは旅行をしたいのですが、どの目的地へ行くのか決めません。サウスツーリズムエージェンシーではニューヨークやラスベガスへの旅行を宣伝していますが、イーストツーリズムエージェンシーはフランス、イタリア、スペインへの旅行を勧めています。 Antonioが提供する旅行の選択肢はいくつありますか?
解決策
South Tourism AgencyにはAntonioに2つの選択肢（New YorkまたはLas Vegas）があり、East Tourism Agencyには3つのオプション（France、ItalyまたはSpain）があります。さまざまな選択肢の数は次のとおりです。
選択肢の数= m + n = 2 + 3 = 5選択肢.
順列の原理
それは、要素を用いて作ることができるすべての可能な配置のカウントを容易にするために、集合を構成する要素のすべてまたはいくつかを具体的に順序付けることについてである。.
n個の異なる要素の順列の数は、一度に全部取って、次のように表されます。
nPn = n!
例
4人の友人が写真を撮りたい、そして注文できるフォームの数を知りたい.
解決策
あなたは4人が写真を撮るために配置することができるすべての可能な方法のセットを知りたいです。だから、あなたはする必要があります：
4P4 = 4！ = 4*3*2*1 = 24通り.
n個の利用可能な要素の順列の数が、r個の要素によって形成される集合の一部であるとすると、次のように表されます。
nPr = n！ ÷（n - r）!
例
教室の部屋では10のポジションがあります。 4人の生徒がクラスに参加するとしたら、どのように多くの異なる方法で生徒がポジションを占めることができますか?
解決策
椅子のセットの総数は10で、そのうち4つだけが使用されます与えられた式は、置換の数を決定するために適用されます。
nPr = n！ ÷（n - r）!
10年P4 = 10！ ÷（10 - 4）!
10年P4 = 10！ ÷6!
10年P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1÷6*5*4*3*2*1 = 5040の投稿を埋める方法.
集合の利用可能な要素のいくつかが繰り返される場合があります（それらは同じです）。一度にすべての要素を取得する配置数を計算するには、次の式を使用します。
nPr = n！ ÷n1!* n2!... nr!
例
「wolf」という単語から、4文字の異なる単語をいくつ作成できるか?
解決策
この場合、4つの要素（文字）があり、そのうちの2つはまったく同じです。与えられた式を適用して、我々はいくつの異なる単語があるか知っています：
nPr = n！ ÷n1!* n2!... nr!
4P2、1.1 = 4！ ÷2!*1!*1!
4P2、1、1 =（4*3*2*1）÷（2*1）*1*1
4P2、1、1 = 24÷2 = 12種類の単語.
組み合わせの原則
それは特定の順序なしで集合を形成する要素の全部または一部を固定することです。たとえば、XYZ配列がある場合、それはとりわけZXY、YZX、ZYX配列と同じになります。これは、同じ順序ではないにもかかわらず、各配置の要素が同じであるためです。.
集合（ｎ）のいくつかの要素（ｒ）をとると、組み合わせの原理は以下の式で与えられる。
nCr = n！ ÷（n - r）！R!
例
店で彼らは5種類のチョコレートを販売しています。 4種類のチョコレートを選ぶことができます?
解決策
この場合、あなたは店で売られる5つのタイプの4つのチョコレートを選ばなければなりません。それらが選択される順序は重要ではなく、さらに、チョコレートの種類は2回以上選択することができます。式を適用して、あなたはしなければなりません：
nCr = n！ ÷（n - r）！R!
5C4 = 5！ ÷（5 - 4）！ 4!
5C4 = 5！ ÷（1）！4!
5C4 = 5*4*3*2*1÷4*3*2*1
5C4 = 120÷24 = 4つのチョコレートを選ぶ5つの方法.
集合（ｎ）のすべての要素（ｒ）が取られるとき、組み合わせの原理は以下の式によって与えられる。
nCn = n!
解決した演習
演習1
あなたは14人のメンバーからなる野球チームを持っています。ゲームに5つのポジションを割り当てることができる方法はいくつありますか?
解決策
このセットは14個の要素から構成されており、5つの特定の位置を割り当てます。つまり、その順番が重要です。順列式は、n個の利用可能な要素が、rによって形成される集合の一部によって取得される場合に適用されます。.
nPr = n！ ÷（n - r）!
ここで、n = 14、r = 5です。
14年P5 = 14！ ÷（14 - 5）!
14年P5 = 14！ ÷（9）!
14年P5 9つのゲームポジションを割り当てる240 = 240の方法.
演習2
9人の家族が旅行に出かけ、連続した座席でチケットを購入すると、さまざまな方法で座ることができます。?
解決策
連続して9席を占めるのは約9要素.
P9 = 9!
P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880座っている方法.
参考文献
- Hopkins、B.（2009）。離散数学を教えるためのリソース：教室プロジェクト、歴史モジュール、および記事.
- Johnsonbaugh、R.（2005）。離散数学ピアソン教育,.
- Lutfiyya、L.A。（2012）。有限および離散数学問題ソルバー研究教育協会編集者.
- Ｐａｄｒｏ、Ｆ．Ｃ。（２００１）。離散数学ポリテックカタルーニャ.
- Steiner、E.（2005）。応用科学のための数学元に戻す.