どんな種類の積分がありますか？

の 積分の種類 計算で見つけたのは、不定積分と定義済み積分です。定積分は不定積分よりも多くの用途がありますが、不定積分を解くことを最初に学ぶ必要があります。.

定積分の最も魅力的な用途の1つは、回転体の体積の計算です。.

どちらの種類の積分も同じ線形性を持ち、積分手法も積分の種類に依存しません。.

しかし、非常に似ているにもかかわらず、主な違いがあります。最初のタイプの積分では、結果は関数（特定ではありません）ですが、2番目のタイプでは、結果は数値です。.

2つの基本型の積分

積分の世界は非常に広いですが、その中で私たちは日常生活に大きな適用性を持つ2つの基本的なタイプの積分を区別することができます。.

fの領域内のすべてのxに対してF '（x）= f（x）であれば、F（x）はf（x）の逆微分、原始関数または積分であると言えます。.

一方、（F（x）+ C） '= F'（x）= f（x）であることに注意してください。これは、関数の積分が一意ではないことを意味します。抗誘導体.

このため、F（x）+ Cはf（x）の不定積分と呼ばれ、Cは積分定数と呼ばれ、次のように書きます。

ご覧のとおり、関数f（x）の不定積分は関数の族です。.

たとえば、関数f（x）=3x²の不定積分を計算したい場合は、まずf（x）の逆微分を見つけなければなりません。.

F '（x）= 3 x 2であるため、F（x）= x 3は逆微分であることに気付くのは簡単です。したがって、次のように結論付けることができます。

∫f（x）dx =∫3x²dx=x³+ C.

y = f（x）を実際の関数とし、閉区間[a、b]で連続し、F（x）をf（x）の逆微分とする。これは、範囲aとbの間のf（x）からF（b）-F（a）までの定積分と呼ばれ、次のように表されます。

上に示した式は「微積分学の基本定理」としてよく知られています。ここで、「ａ」を下限値と呼び、「ｂ」を上限値と呼ぶ。ご覧のとおり、関数の定積分は数です。.

この場合、区間[0.3]におけるf（x）=3x²の定積分を計算すると、数が得られます。.

この数を決定するために、f（x）= 3 x 2の逆導関数としてF（x）= x 3を選択します。次に、F（3） - F（0）を計算すると、27-0 = 27となります。結論として、区間[0.3]におけるf（x）の定積分は27です。.

G（x）=x³+ 3が選択された場合、G（x）はF（x）以外のf（x）の逆微分であるが、G（3）-G（０）＝（２７＋３） - （３）＝２７である。このため、定義された積分では積分定数は現れません.

このタイプの積分が持っている最も有用なアプリケーションの1つはそれが（回転体の）平坦な図形の面積（体積）を計算することを可能にし、適切な関数と積分限界（そして回転軸）を確立することです.

定義された積分の範囲内で、例えば線積分、表面積分、不適切積分、多重積分など、科学や工学の分野で非常に有用な用途を持つさまざまな拡張を見つけることができます。.