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微分を使った近似の計算
数学での近似は、何かの正確な値ではない数値ですが、それに非常に近いので、その正確な値と同じくらい有用であると見なされます。.
数学で近似がなされるとき、それは手動で望まれているものの正確な値を知ることが難しい（あるいは時々不可能）ためです.
近似を扱うときの主なツールは、関数の微分です。.
Δｆ（ｘ）で表される関数ｆの微分は、関数ｆの微分に独立変数の変化を乗じたもの、すなわちΔｆ（ｘ）＝ ｆ '（ｘ）＊ Δｘに過ぎない。.
ΔfとΔxの代わりにdfとdxが使用されることがあります。.
微分を使ったアプローチ
微分による近似を行うために適用される式は、極限としての関数の導関数の定義から正確に得られます。.
この式は次の式で与えられます。
ｆ（ｘ）≒ｆ（ｘ ０）＋ ｆ '（ｘ ０）＊（ｘ − ｘ ０）＝ ｆ（ｘ ０）＋ ｆ'（ｘ ０）＊ Δｘ.
ここで、Δｘ ＝ ｘ − ｘ０、したがって、ｘ ＝ ｘ０ ＋ Δｘであることが理解される。これを使用して式は次のように書き直すことができます。
f（x0 +Δx）≒f（x0）+ f '（x0）*Δx.
なお、「ｘ ０」は任意の値ではなく、ｆ（ｘ ０）が容易に分かるような値である。さらに、 "f（x）"は、近似したい値です。.
より良い近似はありますか?
答えはイエスです。前のものは「線形近似」と呼ばれる最も簡単な近似です。.
より良い品質近似（誤差がより小さい）のために、「テイラー多項式」と呼ばれるより多くの導関数を有する多項式、ならびにとりわけニュートン - ラフソン法などの他の数値法が使用される。.
戦略
従うべき戦略は次のとおりです。
- 近似を実行するための適切な関数fと、f（x）が近似したい値になるような値 "x"を選択します。.
- f（x0）が計算しやすいように、 "x"に近い値 "x0"を選択してください。.
- Δx= x-x0を計算する.
- 関数とf '（x0）の導関数を計算する.
- 式のデータを置き換えます.
解決された近似演習
続いて、微分を使って近似が行われる一連の演習があります。.
最初の運動
約√3.
解決策
戦略に従って、適切な機能を選択する必要があります。この場合、選択する関数はf（x）=√xであり、近似値はf（3）=√3でなければならないことがわかります。.
今度は、f（x0）が計算しやすいように、「3」に近い値「x0」を選択する必要があります。 "x0 = 2"を選択した場合、 "x0"は "3"に近いことがわかりますが、f（x0）= f（2）=√2は計算が簡単ではありません。.
"4"は "3"に近く、またf（x0）= f（4）=√4= 2であるため、便利な "x0"の値は "4"です。.
「ｘ ＝ ３」および「ｘ０ ＝ ４」の場合、Δｘ ＝ ３−４ ＝ −１となる。今度はfの導関数の計算に進みます。すなわち、ｆ '（ｘ）＝ １ ／ ２×√ｘとなり、ｆ'（４）＝ １ ／ ２√４ ＝ １ ／ ２×２ ＝ １ ／ ４となる。.
得られた式にすべての値を代入します。
√3= f（3）≒2 +（1/4）*（ - 1）= 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.
計算機を使用すると、√3≒1.73205となります。これは、前の結果が実際の値の良い近似であることを示しています。.
セカンドエクササイズ
約√10.
解決策
以前と同様に、関数f（x）=√xとして選択され、この場合はx = 10です。.
この機会に選ばなければならないx0の値は "x0 = 9"です。そして、Δx= 10-9 = 1、f（9）= 3、f '（9）= 1 /2√9= 1/2 * 3 = 1/6.
式で評価するとき、あなたはそれを得る
√10= f（10）≒3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...
計算機を使うと、√10≒3.1622776となります。ここで、以前に良い近似値が得られたこともわかります。.
第三の練習
近似√√10、ここで√は立方根を表します.
解決策
この演習で使用するべき関数は明らかにf（x）=³√xであり、 "x"の値は "10"でなければなりません。.
その立方根がわかるように "10"に近い値は "x0 = 8"です。そして、Δx= 10-8 = 2、f（x0）= f（8）= 2となります。また、f '（x）= 1/3 *3√x²、そしてf'（8）=となります。 1/3 *³√8²= 1/3 *³√64= 1/3 * 4 = 1/12.
式にデータを代入すると、次のようになります。
√10= f（10）≒2 +（1/12）* 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .
計算機は³√10≈2.15443469 ...と言っています...したがって、見つかった近似は良いです.
第四の練習
近似ln（1.3）。ここで、 "ln"は自然対数関数を表します。.
解決策
まず、関数ｆ（ｘ）＝ Ｉｎ（ｘ）が選択され、「ｘ」の値は１．３である。さて、対数関数について少し知っていると、ln（1）= 0、そして "1"は "1.3"に近いことがわかります。したがって、「ｘ ０ ＝ １」が選択され、したがってΔｘ ＝ １．３ - １ ＝ ０．３である。.
一方、ｆ '（ｘ）＝ １ ／ ｘであるので、ｆ'（１）＝ １である。与えられた式で評価するときあなたはしなければなりません：
ln（1.3）= f（1.3）≒0 + 1 * 0.3 = 0.3.
計算機を使うときは、ln（1.3）≒0.262364としなければなりません。.
参考文献
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