逐次デリバティブ（解答付き）



の 連続デリバティブ 二次導関数の後の関数の導関数です。連続導関数を計算するプロセスは次のとおりです。関数fがあり、それを導き出して導関数f 'を得ることができます。 fのこの導関数に対して、それを再び導き、（f '）'を得ることができます。.

この新しい関数は二次導関数と呼ばれます。 2番目から計算されたすべての導関数は連続しています。高階とも呼ばれるこれらは、関数のグラフのプロット、相対的極値の二次微分検定、無限級数の決定などの情報を提供するなど、非常に優れた用途があります。.

索引

  • 1定義
    • 1.1例1
    • 1.2例2
  • 2スピードと加速
    • 2.1例1
    • 2.2例2
  • 3アプリケーション
    • 3.1微分導出
    • 3.2例
    • 3.3相対的な終わり
    • 3.4例
    • 3.5テイラー級数
    • 3.6例
  • 4参考文献

定義

ライプニッツの表記法を使うと、関数 "and"の "x"に対する微分はdy / dxであることがわかります。ライプニッツの表記法を使用して "and"の2次導関数を表現するために、次のように書きます。

一般に、ライプニッツの表記法で次のように連続微分を表すことができます。ここで、nは微分の次数を表します。.

使用される他の表記法は以下の通りです：

さまざまな表記を見ることができるいくつかの例は次のとおりです。

例1

以下によって定義される関数fのすべての導関数を取得します。

通常の導出手法を使用すると、fの導関数は次のようになります。

このプロセスを繰り返すことで、2階微分、3階微分などを得ることができます。.

4次導関数はゼロであり、ゼロの導関数はゼロであることに注意してください。

例2

次の関数の4階微分を計算します。

与えられた関数を導き出します。

スピードと加速

導関数の発見につながった動機の1つは、瞬間速度の定義の探求でした。正式な定義は次のとおりです。

y = f（t）をそのグラフが瞬間の粒子の軌跡を表す関数とする トン, それから瞬間tにおけるその速度は、

粒子の速度を求めたら、瞬間加速度を計算できます。瞬間加速度は次のように定義されます。

経路がy = f（t）で与えられる粒子の瞬間加速度は、

例1

粒子は位置関数に従って線上を移動します。

「y」はメートル単位、「t」は秒単位です。.

- どの瞬間にあなたの速度は0です?

- 加速度が0になった瞬間?

位置関数 "と"を導出するとき、その速度と加速度はそれぞれ次式で与えられる。

最初の質問に答えるためには、関数vがいつゼロになるかを決定すれば十分です。これは、

私たちは次の質問を同様に続けます。

例2

粒子は次の運動方程式に従って線上を移動します。

a = 0のときに "t、y"と "v"を決定する.

速度と加速度は

私たちは導出して入手します。

a = 0とすると、次のようになります。

これから、aが0に等しくなるためのtの値はt = 1であると推測できます。.

次に、t = 1で位置関数と速度関数を評価すると、次のようになります。

アプリケーション

増幅された導出

逐次微分は、暗黙的な微分によっても得られます。.

例

次の楕円を考えて、 "and"を見つけます。

xに関して暗黙のうちに導出すると、

それから、xに関して暗黙のうちに再導出することによって、それは私たちに与えます：

最後に、

相対的な終わり

2階微分に与えることができるもう1つの用途は、関数の相対端の計算です。.

極値の一次導関数の基準は、範囲（a、b）で連続する関数fがあり、f 'がcで無効になるようにその区間に属するcが存在する場合、それを示します。 3つのケースのうちの1つは起こるかもしれません：

- （a、c）およびf '（x）に属する任意のxに対してf'（x）> 0の場合<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- f '（x）の場合 < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>xが（c、b）に属する場合は0、f（c）は極小値.

- f '（x）が（a、c）と（c、b）で同じ符号を持つ場合は、f（c）がローカルエンドポイントではないことを意味します。.

二次導関数の基準を使用すると、前述の区間で関数の符号が何であるかを見なくても、関数の臨界数が最大値か極小値かを知ることができます。.

2次微分の基準は、f '（c）= 0で、f "（x）が（a、b）で連続している場合、f"（c）> 0の場合、f（c）はaであることを示します。極小値およびf "（c）の場合 < 0 entonces f(c) es un máximo local.

f "（c）= 0の場合、何も結論づけられない.

例

関数f（x）= xが与えられると4 + （4/3）x3 - 4倍2, 二次導関数の基準を適用してfの相対最大値と最小値を求める.

まず、f '（x）とf "（x）を計算します。

f '（x）= 4x3 + 4倍2 - 8倍

f "（x）= 12倍2 + 8x - 8

さて、4 x（x + 2）（x - 1）= 0の場合に限り、f '（x）= 0であり、x = 0、x = 1、またはx = - 2の場合に起こります。.

得られた臨界数が相対的な極値であるかどうかを判断するには、f "で評価してその符号を観察すれば十分です。.

f "（0）= - 8なので、f（0）は極大値.

f "（1）= 12、したがってf（1）は極小値.

f "（ - 2）= 24なので、f（ - 2）は極小値です.

テイラーシリーズ

fを以下のように定義された関数とする。

この関数は収束半径R> 0を持ち、（ - R、R）のすべての次数の導関数を持ちます。 fの連続導関数は次のようになります。

x = 0とすると、cの値を得ることができます。n 次のようにその派生物に基づいて：

関数fとしてn = 0をとる場合（つまり、f ^ 0 = f）、次のように関数を書き換えることができます。

今x = aの一連のべき乗として機能を考慮しなさい：

前のものと同様の分析を実行すると、関数fを次のように書く必要があります。

これらの級数は、aのfのテイラー級数として知られています。 a = 0のとき、私たちはマクラウリン級数と呼ばれる特別な場合を持ちます。このような級数は、特に数値解析において数学的に非常に重要です。これらのおかげで、次のような関数をコンピュータで定義できるからです。× , sin（x）とcos（x）.

例

eのMaclaurinシリーズを入手×.

f（x）= eの場合×, それからf（n）（x）= e× そしてf（n）（0）= 1、それが彼のMaclaurinシリーズがそうである理由です：

参考文献

  1. フランクエアーズ、J。＆メンデルソン、E（s.f.）. 5ed計算. マックグローヒル.
  2. Leithold、L.（1992）. 解析幾何学による計算. ハーラ、S.A.
  3. パーセル、E。J.、Varberg、D。＆Rigdon、S。E（2007）. 計算. メキシコ：ピアソン教育.
  4. Saenz、J.（2005）. 微分計算. 斜辺.
  5. Saenz、J.（s.f.）. 総合計算. 斜辺.