代数導関数（例付き）



の 代数微分 それらは代数関数の特定の場合における導関数の研究にあります。派生物の概念の起源は古代ギリシャにさかのぼります。この概念の発展は、物理学と数学の2つの重要な問題を解決する必要性によって動機付けられました。.

物理学では、導関数は移動物体の瞬間速度を決定する問題を解決します。数学では、与えられた点で曲線への接線を見つけることができます.

導関数とその一般化を使用して解決される問題は他にもたくさんありますが、その概念の導入後にもたらされた結果.

微分法の先駆者はニュートンとライプニッツです。正式な定義を与える前に、数学的および物理的な観点から、背後にある考え方を発展させます。.

索引

  • 1曲線の接線の傾きとしての導関数
  • 2移動物体の瞬間速度としての微分
    • 2.1代数関数
  • 3派生ルール
    • 3.1定数から派生
    • 3.2力の導関数
    • 3.3加減算から派生
    • 3.4製品の派生物
    • 3.5商から派生
    • 3.6連鎖のルール
  • 4参考文献

曲線の接線の傾きとしての導関数

関数y = f（x）のグラフが（ピーク、頂点、または分離のない）連続グラフであり、A =（a、f（a））がその上の固定点であるとします。点Aでの関数fのグラフに対する接線の方程式を見つけたい.

点Aの近くでグラフの他の点P =（x、f（x））を取り、AとPを通る割線を引きます。割線とは、曲線のグラフを1つに切り取る線です。以上のポイント.

必要な接線を取得するには、既に線上に点があるため、勾配を計算するだけです。.

グラフに沿って点Pを移動し、それを点Aに近づけると、前述の割線は見つけたい接線に近づきます。 「PがAになる傾向がある」という限界を取ると、両方の線が一致するため、その傾きも.

割線の傾きは、

PがAに近づくと言うことは、 "x"が "a"に近づくと言うことと同じです。したがって、点Aでのfのグラフに対する接線の傾きは、次のようになります。

上式はｆ '（ａ）で表され、点「ａ」における関数ｆの導関数として定義される。解析的には、ある点の関数の導関数は極限ですが、幾何学的にはそれはその点の関数のグラフに接する線の傾きです。.

今、私たちは物理学の観点からこの概念を見るでしょう。別の方法で、定義の全会一致を取得していますが、前の制限と同じ表現にたどり着きます。.

移動物体の瞬間速度としての微分

瞬時のスピードが何を意味するかの簡単な例を見てみましょう。たとえば、目的地に到着する車が時速100 kmで走行したと言われた場合、1時間で100 km走行したことになります。.

これは必ずしも1時間の間に車が常に100 km離れていたことを意味するわけではなく、車の速度計はある瞬間にそれ以下またはそれ以上を記録することができました。彼が信号で止まる必要があるならば、その時の速度は0 kmでした。しかし、1時間後、ルートは100 kmでした.

これは平均速度として知られているものであり、これまで見てきたように、経過時間の間に移動した距離の商によって与えられる。瞬時速度は、その一方で、決定された瞬間（時間）に車のスピードメーターの針をマークするものです.

もう少し一般的に見てみましょう。オブジェクトが線に沿って移動し、この変位が方程式s = f（t）で表されるとします。ここで、変数tは時間を、変数sは変位を表します。瞬間t = 0、その時点ではゼロでもある、すなわちf（0）= 0.

この関数f（t）は位置関数として知られています.

一定の瞬間「ａ」における物体の瞬間速度について式が求められる。この速度で我々はそれをV（a）で表す。.

瞬間「ａ」に近い瞬間をｔとする。 「ａ」と「ｔ」の間の時間間隔において、物体の位置の変化は、ｆ（ｔ）−ｆ（ａ）によって与えられる。.

この時間間隔の平均速度は次のとおりです。

これは瞬間速度V（a）の近似です。この近似は、tが "a"に近づくにつれて良くなります。だから,

この表現は、前のケースで得られたものと同じですが、別の観点から見てください。これは、点「ａ」における関数ｆの導関数として知られているものであり、上述のように、ｆ '（ａ）によって表される。.

h = x-aに変更すると、 "x"が "a"になり、 "h"が0になり、以前の制限が（等価的に）次のように変換されることに注意してください。

両方の式は同等ですが、場合によっては、他の式の代わりに一方を使用することをお勧めします。.

関数fの導関数は、そのドメインに属する任意の点 "x"で、より一般的には次のように定義されます。

関数y = f（x）の導関数を表すための最も一般的な表記法は、今見たものです（f 'oと'）。ただし、広く使用されているもう1つの表記法は、次のいずれかの式で表されるLeibniz表記法です。

デリバティブは本質的に制限であるという事実を考慮すると、制限が常に存在するわけではないので、それは存在してもしなくてもよい。もし存在すれば、問題の関数は与えられた点で微分可能であると言われます.

代数関数

代数関数は、和、減算、積、商、べき乗、および根本による多項式の組み合わせです。.

多項式は次の形式の式です。

Pn= an×n+ あるn-1×n-1+ あるn-2×n-2+... + a2×2+ ある1x + a0

nは自然数で、すべてのaは私は, i = 0,1、...、nの場合、有理数とn≠0この場合、この多項式の次数はnであると言われます。.

以下は代数関数の例です。

ここでは、指数関数、対数関数、三角関数は含まれていません。以下に示す導出規則は関数一般に有効ですが、代数関数の場合は自分自身を制限して適用します。.

バイパスルール

定数から派生

定数の導関数がゼロであることを証明します。すなわち、ｆ（ｘ）＝ ｃであれば、ｆ '（ｘ）＝ ０である。たとえば、定数関数2の導関数は0に等しくなります。.

力から得られる

f（x）= xの場合n, f '（x）= nxn-1. たとえば、xの導関数3 それは3倍です2. この結果として、恒等関数f（x）= xの導関数はf '（x）= 1xであることがわかります。1-1= x0= 1.

別の例は次のとおりです。be f（x）= 1 / x2, f（x）= x-2 そしてf '（x）= - 2x-2-1= -2倍-3.

根は合理的な力であり、その場合にも上記を適用することができるので、この特性も有効な根です。たとえば、平方根の導関数は次のように与えられます。

合計と減算から派生

fとgがxの微分可能関数である場合、合計f + gも異なり、（f + g） '（x）= f'（x）+ g '（x）となります。.

同様に、（f-g） '（x）= f'（x）-g '（x）となります。言い換えれば、合計の導関数（減算）は、導関数の合計（または減算）です。.

例

h（x）= xの場合2+それからx-1

h '（x）=（x2）+（x） ' - （1）' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

製品から派生

fとgがxの微分可能関数である場合、積fgもxで微分可能であり、次の条件が満たされます。

（fg） '（x）= f'（x）g（x）+ f（x）g '（x）.

結果として、cが定数でfがxの微分可能関数であれば、cfはxでも微分可能であり、（cf） '（x）= cf'（X）となります。.

例

f（x）= 3x（xの場合）2+1）、そして

f '（x）=（3x）'（x2+1）+（3x）（x2+1） '= 3（x）'（x2+1）+ 3x [（x2） '+（1）']

= 3（1）（x2+1）+ 3x [（2x2-1）＋ ０］ ＝ ３（ｘ）2+1）+ 3倍（2倍）= 3倍2+3 + 6倍2

= 9倍2+3.

商から派生

fとgがxで微分可能でg（x）≠0であれば、f / gもxで微分可能であり、そして

例： h（x）= xの場合3/（x2-その後5倍）

h '（x）= [（x3）（x5-5倍） - （x）3）（×5-5倍） '] /（x5-5倍）2= [（3倍2）（×5-5倍） - （x）3（5倍）4-5）] /（x5-5倍）2.

チェーンルール

この規則は関数の構成の導出を可能にします。 y = f（u）がuで微分可能であれば、yu = g（x）がxで微分可能である場合、複合関数f（g（x））はxで微分可能であり、[f（ g（x））] '= f'（g（x））g '（x）.

つまり、複合関数の導関数は、外部関数の導関数（外部導関数）と内部関数の導関数（内部導関数）の積です。.

例

f（x）=（xの場合）4-2倍）3, それから

f '（x）= 3（x4-2倍）2（x4-2x） '= 3（x）4-2倍）2（4倍3-2）.

関数の逆関数の導関数を計算する結果や、高階導関数への一般化もあります。アプリケーションは広範囲です。それらの中で彼らは最適化の問題と機能の最大と最小の問題で彼らの有用性を強調している.

参考文献

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