部分分数の場合と例

の 部分分数 それらは多項式によって形成された分数であり、分母は線形または二次多項式であることができ、さらに、ある程度べき乗することができます。ときには、有理関数があるとき、この関数を部分分数または単純分数の合計として書き直すことは非常に便利です。.

これは、特にこのアプリケーションを統合する必要がある場合に、この方法でこれらの機能をより良い方法で操作できるためです。有理関数は、単に2つの多項式間の商であり、適切または不適切な場合があります。.

分子の多項式の次数が分母より小さい場合、それはそれ自身の有理関数と呼ばれます。そうでなければ、それは不適切な有理関数として知られています.

索引

• 1定義
• 2ケース
  • 2.1ケース1
  • 2.2ケース2
  • 2.3ケース3
  • 2.4ケース4
• 3アプリケーション
  • 3.1総合計算
  • 3.2集団訴訟の法則
  • 3.3微分方程式：ロジスティック方程式
• 4参考文献

定義

我々は不適切な有理関数を持っている場合、我々は多項式分母多項式によって分子を分割し、それによりフラクションPを書き換えることができ（X）/ Q（x）は、T（X）+ Sとして分割アルゴリズム下記（X）/ q（x）、ここでt（x）は多項式、s（x）/ q（x）はそれ自身の有理関数です。.

部分分数は多項式の任意の適切な関数であり、その分母は（ax + b）の形式です。ⁿ o（斧²+ bx + c）ⁿ, 多項式axの場合² + bx + cは実根を持たず、nは自然数です。.

部分分数で有理関数を書き換えるためには、最初にすべきことは、線形及び/又は二次因子の積として分母Q（X）を考慮することです。これが行われると、部分因子が決定され、それは前記因子の性質に依存する。.

ケース

いくつかのケースを別々に検討します.

ケース1

q（x）の係数はすべて線形であり、何も繰り返されません。それは：

q（x）=（a₁x + b₁）（）₂x + b₂）...（_のx + b_の）

そこでは、線形因子は他と同一ではありません。このような場合が発生したら、我々は書くでしょう：

p（x）/ q（x）= A₁/（a₁x + b₁+ A₂/（a₂x + b₂）... + A_の/（a_のx + b_の）.

どこA₁,A₂,...、A_の 探したい定数です。.

例

有理関数を単純な分数に分解したい。

（x - 1）/（x³+3倍²+2倍）

分母の因数分解を進めます。

׳ + 3倍² + 2x = x（x + 1）（x + 2）

その後：

（x - 1）/（x³+3倍²+2x）=（x - 1）/ x（x + 1）（x + 2）

（x - 1）/ x（x + 1）（x + 2）= A / x + B /（x + 1）+ C /（x + 2）

最小公倍数を適用すると、次のようになります。

x - 1 = A（x + 1）（x + 2）+ B（x + 2）x + C（x + 1）x.

定数A、B、Cの値を取得したいのですが、それぞれの項を打ち消す根を置き換えることによって見つけることができます。 xに0を代入すると、

0 - 1 = A（0 + 1）（0 + 2）+ B（0 + 2）0 + C（0 + 1）0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

xに - 1を代入すると、

- 1 - 1 = A（ - 1 + 1）（ - 1 + 2）+ B（ - 1 + 2）（ - 1）+ C（ - 1 + 1）（ - 1）.

- 2 = - B

B = 2.

xに2を代入すると、次のようになります。

- 2 - 1 = A（ - 2 + 1）（ - 2 + 2）+ B（ - 2 + 2）（ - 2）+ C（ - 2 + 1）（ - 2）.

-3 = 2C

C = -3/2.

このようにして、値Ａ ＝ −１ ／ ２、Ｂ ＝ ２、およびＣ ＝ −３ ／ ２が得られる。.

1 = A（x + 1）（X + 2）+ B（X + 2）+ C X（X + - 式Xの右側の場合はA、BおよびCの値を得るための別の方法があります1）x用語を組み合わせると、次のようになります。

x - 1 =（A + B + C）x² + （3A + 2B + C）x + 2A.

これは多項式の等式なので、左側の係数は右側の係数と等しくなければなりません。これにより、次の連立方程式が得られます。

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

この連立方程式を解くと、A = -1/2、B = 2、C = -3/2という結果が得られます。.

最後に、取得した値を置き換えます。

（X - 1）/ X（X + 1）（X + 2）= - 1 /（2×）+ 2 /（X + 1） - 3 /（2（X + 2））.

ケース2

q（x）の係数はすべて線形で、いくつかは繰り返されます。 （ａｘ ＋ ｂ）が「ｓ」回繰り返される因子であると仮定する。それから、この因子に "s"部分分数の合計を対応させます.

A_の/（ax + b）^の + A_s-1/（ax + b）^s-1 +... + A₁/（ax + b）.

どこA_の,A_s-1,...、A₁ それらは決定されるべき定数です。次の例では、これらの定数を決定する方法を示します。.

例

部分分数に分解します。

（x - 1）/（x²（x - 2）³）

以下のように、有理関数を部分分数の和として書きます。

（x - 1）/（x²（x - 2）³）= A / x² + B / x + C /（x - 2）³ + D /（x - 2）² + E /（x - 2）.

その後：

x - 1 = A（x - 2）³ + B（x - 2）³x + Cx² + D（x - 2）x² + E（x - 2）²×²

xに2を代入すると、次のようになります。

7 = 4C、つまりC = 7/4.

xに0を代入すると、

- 1 = -8AまたはA = 1/8.

これらの値を前の式に代入して展開すると、次のようになります。

x - 1 = 1/8（x³ - 6倍² + 12x - 8）+ Bx（x³ - 6倍² + 12倍 - 8）+ 7/4倍² +Dx³ - 2Dx² + 元²（x² - 4倍+ 4）

x - 1 =（B + E）x⁴ + （1/8 - 6B + D - 4E）x³ + （ - ¾+ 12B + 7/4 - 2D + 4E）x² +（3/2 - 8B）x - 1.

係数を一致させることにより、以下の連立方程式が得られます。

Ｂ ＋ Ｅ ＝ ０。

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

システムを解くと、次のようになります。

Ｂ ＝ ３ ／ １６。 Ｄ ＝ ５ ／ ４； E = - 3/16.

このため、我々はしなければなりません：

（x - 1）/（x²（x - 2）³）=（1/8）/ x² + （3/16）/ x +（7/4）/（x - 2）³ + （5/4）/（x - 2）² - （3/16）/（x - 2）.

ケース3

ｑ（ｘ）の因子は、二次因子が繰り返されることなく二次線形である。この場合、二次因子（ax² + bx + c）は部分分数（Ax + B）/（ax）に対応します² + bx + c）、ここで定数AとBは決定したいものです。.

次の例は、この場合の処理​​方法を示しています。

例

単純な分数a（x + 1）/（xに分解する³ - 1）.

最初に分母を因数分解することになります。

（x - 1）=（x - 1）（x + x + 1）.

それがわかります（x² + ｘ ＋ １）は既約二次多項式である。つまり、本当のルーツはありません。部分分数への分解は次のようになります。

（x + 1）/（x - 1）（x² + ｘ ＋ １）＝ Ａ ／（ｘ − １）＋（Ｂｘ ＋ Ｃ）／（ｘ）² + x + 1）

これから、以下の式が得られます。

x + 1 =（A + B）x² +（A - B + C）x +（A - C）

多項式の等式を使用して、以下のシステムが得られます。

Ａ ＋ Ｂ ＝ ０。

A - B + C = 1。

A - C = 1;

このシステムから、A = 2/3、B = - 2/3、C = 1/3となります。代わりに、我々はしなければならない：

（x + 1）/（x - 1）（x² + x + 1）= 2/3（x - 1） - （2x + 1）/ 3（x² + x + 1）.

ケース4

最後に、ケース４は、ｑ（ｘ）の因子が線形および二次であり、線形二次因子のいくつかが繰り返される場合である。.

この場合、はい（ax² + bx + c）は "s"回繰り返される二次因子であり、それから因子（ax）に対応する部分分数² + bx + c）は次のようになります。

（A₁x + B）/（ax² + bx + c）+ ... +（A_s-1x + B_s-1）/（斧）² + bx + c）^s-1 + （A_のx + B_の）/（斧）² + bx + c）^の

どこA_の, A_s-1,...、AとB_の, B_s-1,...、Bは決定したい定数です。.

例

次の有理関数を部分分数に分解します。

（x - 2）/（x（x）² - 4倍+ 5）²）

xのように² - 4x + 5は既約二次因子であり、部分分数への分解は次式で与えられることがわかります。

（x - 2）/（x（x）² - 4倍+ 5）²）＝ Ａ ／ ｘ ＋（Ｂｘ ＋ Ｃ）／（ｘ）² - 4x + 5）+（Dx + E）/（x² - 4倍+ 5）²

単純化し開発すると、次のようになります。

x - 2 = A（x² - 4倍+ 5）² + （Bx + C）（x² - 4x + 5）x +（Dx + E）x

x - 2 =（A + B）x⁴ + （ - 8A - 4B + C）x³ + （26A + 5B - 4C + D）x² + （ - 40A + 5C + E）x + 25A.

上記から、次の連立方程式が得られます。

Ａ ＋ Ｂ ＝ ０。

- ８Ａ − ４Ｂ ＋ Ｃ ＝ ０。

２６Ａ ＋ ５Ｂ − ４Ｃ ＋ Ｄ ＝ ０。

- ４０Ａ ＋ ５Ｃ ＋ Ｅ ＝ １。

25A = 2.

システムを解くとき、我々はしなければなりません：

A = - 2/25、B = 2/25、C = - 8/25、D = 2/5、E = - 3/5.

得られた値を置き換えるとき、我々は持っています：

（x - 2）/（x（x）² - 4倍+ 5）²）= - 2/25×+（2× - 8）/ 25（x）² - 4x + 5）+（2x - 3）/ 5（x² - 4倍+ 5）²

アプリケーション

総合計算

部分分数は、主に積分計算の研究に使用されます。以下に、部分分数を使用して積分を行う方法の例をいくつか示します。.

例1

以下の積分を計算したい。

分母q（x）=（t + 2）であることがわかります。²（ｔ ＋ １）は、これらのうちの１つが繰り返される線形因子からなる。これは私達が場合2にあるためです.

我々はする必要があります：

1 /（t + 2）²（t + 1）= A /（t + 2）² +B /（t + 2）+ C /（t + 1）

式を書き直すと、次のようになります。

1 = A（t + 1）+ B（t + 2）（t + 1）+ C（t + 2）²

t = - 1の場合、次のようになります。

1 = A（0）+ B（1）（0）+ C（1）

1 = C

t = - 2の場合、それは次のようになります。

1 = A（ - 1）+ B（0）（ - 1）+ C（0）

A = - 1

そして、t = 0の場合：

1 = A（1）+ B（2）（1）+ C（2）

AとCの値を代入する：

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

以上より、B = - 1となります。.

積分を次のように書き換えます。

代入方法で解決します。

これにより、

例2

次の積分を解く：

この場合、q（x）= xに因数分解することができます。² - ｑ（ｘ）＝（ｘ − ２）（ｘ ＋ ２）として４となる。明らかに私たちはケース1にいます。

（5x - 2）/（x - 2）（x + 2）= A /（x - 2）+ B /（x + 2）

次のように表現することもできます。

5x - 2 = A（x + 2）+ B（x - 2）

x = - 2の場合、

- 12 = A（0）+ B（ - 4）

B = 3

そしてx = 2の場合：

8 = A（4）+ B（0）

A = 2

したがって、与えられた積分を解かなければなりません。

これは結果として私たちに与えます：

実施例３

積分を解く：

q（x）= 9x⁴ + ײ , q（x）= xを因数分解できること²（9倍² + 1）.

このとき、繰り返し線形因子と二次因子があります。つまり、私たちはケース3にいます.

我々はする必要があります：

1 / x²（9倍² + 1）= A / x² + B / x +（C x + D）/（9 x² + 1）

1 = A（9倍² + 1）+ B×（9×）² + 1）+ Cx² + Dx²

等式の多項式をグループ化して使用すると、

1 =（9B + C）x +（9A + D）x + Bx + A

Ａ ＝ １。

Ｂ ＝ ０。

９Ａ ＋ Ｄ ＝ ０。

9B + C = 0

この連立方程式から次のようになります。

D = - 9およびC = 0

このように、我々は持っています：

上記を解くことで、次のようになります。

集団訴訟の法則

積分計算に適用される部分分数の興味深い応用は化学に、より正確には質量作用の法則に見いだされる。.

時間に対するCの量の誘導体が任意の時点でAとBの量の積に比例するように、我々は、接合および物質Cが形成された2つの物質AおよびBを有すると仮定.

集団訴訟の法則は次のように表現できます。

この式において、αはＡに対応する初期グラム量であり、βはＢに対応する初期グラム量である。.

さらに、ｒおよびｓは、それぞれ組み合わさってｒ ＋ ｓグラムのＣを形成するＡおよびＢのグラム数を表す。その部分について、ｘは、時間ｔにおける物質Ｃのグラム数を表し、Ｋは、である。比例定数上記の式は次のように書き換えることができます。

次のように変更します。

式は次のようになります。

この式から次のようになります。

a≠bの場合、部分分数を積分に使用できます。.

例

たとえば、物質のAとBの結合から生じる物質Cを考えます。そのようにして、aとbの値がそれぞれ8と6の場合に質量の法則が満たされるようにします。時間の関数としてCのグラムの値を与える方程式を与える.

与えられた質量則の値を代入すると、次のようになります。

変数を分離するときは、

ここで、1 /（8 - x）（6 - x）は、次のように部分分数の合計として記述できます。

したがって、1 = A（6 - x）+ B（8 - x）

6にxを代入すると、B = 1/2になります。 8にxを代入すると、A = - 1/2になります。.

部分分数による積分は次のとおりです。

これは結果として私たちに与えます：

微分方程式：ロジスティック方程式

部分分数に適用できるもう1つの用途は、ロジスティック微分方程式です。単純なモデルでは、人口の成長率はその大きさに比例します。それは：

このケースは理想的で、システムで利用可能なリソースが人口を維持するのに不十分であるということが起こるまで現実的と見なされます.

このような状況では、Lと呼ぶ最大容量があり、システムが維持できること、そして増加率は母集団のサイズに使用可能なサイズを掛けたものに比例すると考えるのがより合理的です。この議論は次の微分方程式を導く。

この式はロジスティック微分方程式と呼ばれます。部分分数による積分法で解くことができる分離微分方程式です.

例

例として、次のロジスティック微分方程式y '= 0.0004y（1000 - y）に従って成長する母集団を考えます。初期データは400です。tが測定されたt = 2の時点での母集団のサイズを知りたいです。年に.

tに依存する関数としてLeibniz表記を使ってaと 'を書くと、次のようになります。

左側の積分は、部分分数による積分法を使って解くことができます。

この最後の等式は次のように書き直すことができます。

- y = 0を代入すると、Aは1/1000になります。.

- y = 1000を代入すると、Bは1/1000になります。.

これらの値では、積分は次のようになります。

解決策は次のとおりです。

初期データを使う：

クリアすると、我々は残しました：

それから、t = 2でそれがあります。

結論として、2年後の人口規模はおよそ597.37です.

参考文献

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5. Saenz、J.（s.f.）. 総合計算. 斜辺.