線形補間法、解法演習

の 線形補間 ニュートンの一般的な内挿に由来する方法で、近似によって2つの与えられた数の間にある未知の値を決定することができます。つまり、中間値があります。これは近似関数にも適用されます。_（a） そしてf_（b） それらは知られていて、あなたはfの中間体を知りたいのです_（×）.

線形、二次、立方およびそれ以上の等級のような異なる種類の補間があり、最も簡単なのは線形近似です。線形内挿で支払わなければならない代償は、結果が高グレードの関数による近似の場合ほど正確ではないということです。.

索引

• 1定義
• 2方法
• 3練習問題が解決しました
  • 3.1演習1
  • 3.2演習2
• 4参考文献

定義

線形補間は、テーブルまたは線形グラフ内にある2つの明確に定義された値の間の値を推定することを可能にするプロセスです。.

たとえば、3リットルの牛乳が4ドル、5リットルの牛乳が7ドルの価値があることを知っていて、4リットルの牛乳の値を知りたい場合は、その中間値を決定するために補間します。.

方法

関数の中間値を推定するために、関数fは近似されます。_（×） 直線rによって_（×）, これは、ストレッチ "x = a"と "x = b"に対して、関数が "x"に対して線形に変化することを意味します。つまり、区間内の "x"値（x₀, ×₁）と（と₀, そして₁） "y"の値は点の間の線で与えられ、次の関係式で表されます。

（そして - そして₀）÷（x - x）₀）=（そして₁ - そして₀）÷（×₁ - ×₀）

補間が線形であるためには、補間多項式が次数1（n = 1）であることが必要です。そのため、xの値に調整されます。₀ とx_1.

線形補間は三角形の類似性に基づいているため、前の式から幾何学的に導出すると、 "x"の未知の値を表す "y"の値を取得できます。.

そのようにあなたはしなければなりません：

a = tanƟ=（反対側₁ ÷隣接脚₁）=（反対側）₂ ÷隣接脚₂）

言い換えれば、それは次のとおりです。

（そして - そして₀）÷（x - x）₀）=（そして₁ - そして₀）÷（×₁ - ×₀）

式の「and」を消去すると、次のようになります。

（そして - そして₀） _* （x₁ - ×₀）=（x - x）₀） _* （そして₁ - そして₀）

（そして - そして₀）=（そして₁ - そして₀） _* [（x - x₀）÷（×₁ - ×₀）]

したがって、線形補間の一般式が得られます。

y = y_{0 +} （そして₁ - そして₀） _* [（x - x₀）÷（×₁ - ×₀）]

一般に、線形補間は真の関数の実際の値に対して小さな誤差を与えますが、直感的に見つけたいものに近い数を選択した場合と比較して誤差は最小です。.

このエラーは、曲線の値を直線で近似しようとしたときに発生します。そのような場合は、近似をより正確にするために区間のサイズを小さくする必要があります。.

アプローチに関してより良い結果を得るためには、補間を実行するためにグレード2、3、またはさらにグレードの高い関数を使用することをお勧めします。これらの場合、テイラー定理は非常に便利な道具です。.

解決した演習

演習1

ｘ時間後のインキュベーション中に存在する単位体積当たりの細菌数を以下の表に示す。あなたは3.5時間の間の細菌の量は何であるか知りたいです。.

解決策

参照表は、３．５時間の間の細菌の量を示す値を確立していないが、それぞれ３および４時間の時間に対応してより高いおよびより低い値を有している。そのように：

×₀ = 3そして₀ = 91

x = 3.5 y =?

×₁ = 4₁ = 135

ここで、内挿値を見つけるために数式が適用されます。これは次のとおりです。

y = y_{0 +} （そして₁ - そして₀） _* [（x - x₀）÷（×₁ - ×₀）].

その後、対応する値が置き換えられます。

y = 91 +（135 - 91） _* [（3,5 - 3）÷（4 - 3）]

y = 91 +（44）_* [（0,5）÷（1）]

y = 91 + 44 _* 0.5

y = 113.

従って、３．５時間の間、細菌の量は１１３であり、これは３時間と４時間の間に存在する細菌の量の間の中間レベルを表す。.

演習2

ルイスはアイスクリーム工場を持っています、そして、彼は行われた経費から彼が8月に持っていた収入を決定するために研究をしたいです。会社のマネージャはその関係を表すグラフを作成しますが、Luisは知りたいと思います。

55,000ドルの費用が発生した場合、8月の収入はいくらですか。?

解決策

グラフは収入と支出の値で表示されます。工場が55000ドルの経費を持っていたなら、ルイスは8月の収入が何であるかについて知りたいです。この値はグラフに直接は反映されませんが、これより高い値と低い値は.

最初に、値を簡単に関連付ける場所を表にします。

さて、補間公式はyの値を決定するために使われます。

y = y_{0 +} （そして₁ - そして₀） _* [（x - x₀）÷（×₁ - ×₀）]

その後、対応する値が置き換えられます。

y = 56,000 +（78,000 - 56,000） _* [（55,000 - 45,000）÷（62,000 - 45,000）]

y = 56,000 +（22,000） _* [（10,000）÷（17,000）]

y = 56,000 +（22,000） _* （0,588）

y = 56,000 + 12,936

y = 68,936ドル.

8月に55,000ドルの費用が発生した場合、収入は68,936ドルでした。.

参考文献

1. Arthur Goodman、L.H。（1996）。解析幾何学による代数と三角法ピアソン教育.
2. ハープ、Ｐ。 （2000）。幾何学的群論における話題シカゴ大学プレス.
3. Hazewinkel、M.（2001）。線形補間」、百科事典.
4. , Ｍ．（１９９８）。工学のための数値法の要素UASLP.
5. , E.（2002）。補間の年表古代の天文学から現代の信号および画像処理までIEEEの議事録.
6. 数値、Ｉ． （2006）。 XavierTomàs、Jordi Cuadros、LucinioGonzález.