平行六面体の特性、タイプ、面積、体積



A 直方体 は6つの面で構成された幾何学的な体です。その主な特徴は、すべての面が平行四辺形で、反対側の面も互いに平行であるということです。靴箱、レンガの形、電子レンジの形などで見つけることができるので、日常生活ではよくある多面体です。.

多面体であるため、平行六面体は有限体積を囲み、そのすべての面は平坦です。それはそれらのすべての頂点が2つの平行な平面に含まれているそれらの多面体であるプリズムのグループの一部です.

索引

  • 平行六面体の1つの要素
    • 1.1顔
    • 1.2エッジ
    • 1.3頂点
    • 1.4対角線
    • 1.5センター
  • 2直方体の特徴
  • 3種類
    • 3.1対角の計算
  • 4エリア
    • 4.1正八面体の面積
    • 4.2立方体の面積
    • 4.3菱面体の面積
    • 4.4ひし形の面積
  • 5直方体のボリューム
    • 5.1完全直方体
  • 6書誌

平行六面体の要素

顔

それらは、平行六面体を制限する平行四辺形によって形成された領域のそれぞれです。平行六面体は6つの面を持ち、各面は4つの隣接する面と1つの反対側の面を持ちます。さらに、各辺はその反対側と平行です.

エッジ

それらは2つの面の共通の側面です。平行六面体は全部で12個の辺を持ちます.

頂点

それは、互いに隣接している3つの面の2対2の共通点です。平行六面体には8つの頂点があります.

対角線

平行六面体の2つの反対側を考えると、一方の面の頂点からもう一方の面の反対側の頂点に向かう線分を描画できます。.

このセグメントは、平行六面体の対角線として知られています。各平行六面体には4つの対角線があります.

ダウンタウン

それはすべての対角線が交差する点です.

平行六面体の特徴

前述したように、この幾何学的本体には12個のエッジ、6個の面、8個の頂点があります。.

平行六面体では、互いに平行な4つのエッジで形成された3つのセットを識別できます。さらに、これらの集合の辺も同じ長さを持つという特性を満たします。.

平行六面体が持つもう1つの特性は、それらが凸面であるということです。つまり、平行六面体の内部に属する点のペアをとると、その点のペアで決まる線分も平行六面体の内側になります。.

さらに、凸多面体である平行六面体は、多面体に関するオイラーの定理に準拠しています。これにより、面の数、エッジの数、および頂点の数の間の関係がわかります。この関係は次の式で与えられます。

C + V = A + 2

この特徴はオイラーの特性として知られています.

Cは面の数、Vは頂点の数、Aは辺の数です。.

タイプ

平行六面体は、その顔に基づいて次のタイプに分類できます。

整形外科

彼らは彼らの顔が6つの長方形によって形成される平行六面体です。各長方形はそれがエッジを共有するものと垂直です。彼らは私たちの日常生活の中で最も一般的なのは、これが靴箱やレンガの通常の方法です.

立方体または正六面体

これは、各面が正方形である前の例の特別な場合です。.

立方体もプラトニックソリッドと呼ばれる幾何学的物体の一部です。プラトニックソリッドは凸多面体なので、その面とその内角の両方が互いに等しくなります。.

Romboedro

それはその顔にダイヤモンドが付いている平行六面体です。これらのダイヤモンドは、端を共有しているので、すべて同じです。.

ロンボエドロ

その6つの面は菱形です。ひし形は、4つの辺と2つから2つの4つの角度を持つ多角形です。菱形は正方形でも長方形でも菱形でもない平行四辺形です。.

一方、斜めの平行六面体は、少なくとも1つの高さがその端と一致しないものです。この分類では、菱形面体と菱形面体を含めることができます。.

対角計算

直方体の対角線を計算するために、Rについてピタゴラスの定理を使用することができます。3.

直方体は、各辺がエッジを共有する辺と垂直であるという特性を持っていることを思い出してください。この事実から、各辺は頂点を共有する辺と垂直であると推論できます。.

直方体の対角線の長さを計算するには、次の手順に従います。

1. 面の対角線を計算し、それを基底として配置します。これにはピタゴラスの定理を使います。この対角線dに名前を付けますb.

2. それからdとb この三角形の斜辺が求められた対角線Dとなるように、新しい直角三角形を形成することができます。.

3. ピタゴラスの定理を再び使用し、対角の長さは次のようになる。

よりグラフィックな方法で対角線を計算するもう1つの方法は、自由ベクトルの合計を使うことです。.

2つの自由ベクトルAとBが、ベクトルBのテールをベクトルAの先端に配置することによって追加されることを思い出してください。.

ベクトル（A + B）は、Aの末尾から始まりBの先端で終わるものです。.

対角を計算したい平行六面体を考えます。.

都合の良い向きのベクトルでエッジを識別します.

それからこれらのベクトルを加えると、結果のベクトルは平行六面体の対角線になります。.

地域

平行六面体の面積は、それらの顔の面積のそれぞれの合計によって与えられます。.

片側をベースにした場合,

AL + 2AB =総面積

どこAL 横面積とAと呼ばれる、底面に隣接するすべての辺の面積の合計に等しいB ベースエリア.

我々が働いている平行六面体のタイプに応じて、我々は上記の式を書き換えることができます.

直方体の面積

それは式によって与えられます

A = 2（ab + bc + ca）.

例1

辺a = 6 cm、b = 8 cm、c = 10 cmの直方体で、平行六面体の面積とその対角線の長さを計算します。.

直方体の面積の公式を使って、

A = 2 [（6）（8）+（8）（10）+（10）（6）] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm2.

それは正三角形なので、その4つの対角線の長さはどれも同じです。.

ピタゴラスの定理を空間に使うと、

D =（62 + 82 + 10年2）1/2 =（36 + 64 + 100）1/2 =（200）1/2

立方体の面積

各辺は同じ長さなので、a = bとa = cがあります。前の式を代入すると

A = 2（aa + aa + aa）= 2（3a）2）= 6a2

A = 6a2

例2

ゲーム機の箱は立方体の形をしています。この箱をギフト用の紙で包むには、立方体の端の長さが45 cmであることを知って、どれだけの紙を使うでしょう。?

立方体の面積の公式を使うと、

A = 6（45 cm）2 = 6（2025 cm）2= 12150 cm2

菱面体の面積

すべての面が等しいので、それらのうちの1つの面積を計算し、それに6を掛けるだけで十分です。.

次の式で対角を使ってダイヤモンドの面積を計算することができます。

AR =（Dd）/ 2

この式を使用すると、菱面体の総面積は次のようになります。

AT = 6（Dd）/ 2 = 3Dd.

実施例３

次の菱面体の面は、対角線がD = 7 cm、d = 4 cmの菱形で形成されています。あなたの地域は

A = 3（7 cm）（4 cm）= 84 cm2.

ひし形の面積

ひし形の面積を計算するには、それを構成するひし形の面積を計算する必要があります。平行六面体は、反対側の面積が同じであるという特性に準拠しているため、3つのペアで側面を関連付けることができます。.

こうすれば私達はあなたの区域があることを持っています

AT = 2b1時間1 + 2b2時間2 + 2b3時間3

どこB私は 側面に関連付けられている拠点と私は その底辺に対応する相対的な高さ.

実施例４

次の平行六面体を考えます,

辺Aと辺A '（その反対側）の底辺はb = 10、高さはh = 6です。印の付いた領域の値は

A1 = 2（10）（6）= 120

BとB 'は、b = 4、h = 6です。

A2 = 2（4）（6）= 48

そしてCとC 'はb = 10とh = 5を持ちます。

A3 = 2（10）（5）= 100

最後に菱面体の面積は

A = 120 + 48 + 100 = 268.

直方体の体積

平行六面体の体積を求める式は、その面の1つの面積とその面に対応する高さの積です。.

V = AC時間C

平行六面体のタイプによっては、上記の式は単純化することができます。.

それで、例えば、正三面体の体積は、

V = abc.

ここで、a、b、およびcは、2面体の辺の長さを表します。.

そして立方体の特定のケースでは

V = a3

例1

クッキーの箱のための3つの異なるモデルがあり、あなたはこれらのモデルのどれにあなたがより多くのクッキーを保存できるか、つまりどの箱が最もボリュームがあるのか​​知りたいのです。.

1つ目は立方体で、その辺の長さはa = 10 cmです。

その体積はV = 1000 cmになります3

2番目の辺の端は、b = 17 cm、c = 5 cm、d = 9 cmです。

したがって、その体積はV = 765 cmです。3

そして3番目はe = 9 cm、f = 9 cm、g = 13 cmです。

そしてその体積はV = 1053 cmです3

したがって、最大の体積を持つボックスは3番目です。.

平行六面体の体積を求めるもう1つの方法は、ベクトル代数に頼ることです。特に、トリプルスカラー積.

トリプルスカラー積を持つ幾何学的解釈の1つは、平行六面体の体積です。そのエッジは、始点と同じ頂点を共有する3つのベクトルです。.

このように、平行六面体があり、その体積が何かを知りたいのであれば、それをRの座標系で表現すれば十分です。3 その頂点の1つを原点と一致させる.

次に、原点で一致するエッジを図のようにベクトルで表します。.

そしてこのようにして、平行六面体の体積は、

V = | AxB∙C |

あるいは、体積は、エッジベクトルの要素によって形成される3×3行列の行列式です。.

例2

Rで次の平行六面体を表すことによって3 それを決定するベクトルは以下の通りです。

u =（-1、-3.0）、v =（5、0、0）そしてw =（-0.25、-4、4）

我々が持っているトリプルスカラー積を使って

V = | （uxv）∙w |

uxv =（-1、-3.0）x（5、0、0）=（0,0、 - 15）

（uxv）∙w =（0,0、 - 15）∙（-0.25、-4,4）= 0 + 0 + 4（ - 15）= - 60

これからV = 60となる。

ここで、エッジがベクトルによって決定されるR3の平行六面体を考えます。

A =（2、5、0）、B =（6、1、0）、C =（3、4、4）

行列式を使うと、

それで私達は平行六面体の容積が112であることを持っています.

どちらも体積を計算するための同等の方法です.

完璧な直方体

それは、その辺の長さとそれぞれの面の対角線の長さの両方が整数であるという性質を満たす正八面体に対するオイラー煉瓦（またはオイラーブロック）として知られています。.

オイラーがその性質を満たす正三面体を研究した最初の科学者ではなかった間、彼はそれらについて興味深い結果を見つけました.

小さい方のオイラー煉瓦はPaul Halckeによって発見され、その辺の長さはa = 44、b = 117、c = 240です。.

数論における未解決問題は次のとおりです。

完全な正三面体はありますか?

現時点では、この質問に答えることはできませんでした。なぜなら、これらの機関が存在しないことを証明することは不可能だからです。.

これまで示されてきたことは、完全な平行六面体が存在するということです。最初に発見されるものは、そのエッジの長さが値103、106、および271です。.

書誌

  1. Guy、R.（1981）. 数論における未解決問題. スプリンガー.
  2. Ｌａｎｄａｖｅｒｄｅ、Ｆ．ｄ。 （1997）. ジオメトリ. 進捗.
  3. Leithold、L.（1992）. 解析幾何学による計算. ハーラ、S.A.
  4. Rendon、A.（2004）. テクニカルドローイング：Workbook 3 2nd 2nd Baccalaureate . テバール.
  5. Resnick、R.、Halliday、D.、＆Krane、K.（2001）. 物理1巻. メキシコ：大陸.