製品のクロス特性、用途および解決済みの課題



の クロス積または積ベクトル 2つ以上のベクトルを乗算する方法です。ベクトルを乗算する方法は3つありますが、通常の意味での乗算ではありません。これらの形式の1つはベクトル積として知られています。.

外積または外積とも呼ばれるベクトル積は、異なる代数的および幾何学的特性を持ちます。これらの特性は、特に物理学の研究において非常に有用です。.

索引

  • 1定義
  • 2プロパティ
    • 2.1プロパティ1
    • 2.2プロパティ2
    • 2.3プロパティ3
    • 2.4プロパティ4（トリプルスカラ積）
    • 2.5プロパティ5（三重ベクトル積）
    • 2.6プロパティ6
    • 2.7プロパティ7
    • 2.8プロパティ8
  • 3アプリケーション
    • 3.1平行六面体の体積計算
  • 4練習問題が解決しました
    • 4.1演習1
    • 4.2演習2
  • 5参考文献

定義

ベクトル積の形式的な定義は次のとおりです。A =（a 1、a 2、a 3）およびB =（b 1、b 2、b 3）がベクトルの場合、AとBのベクトル積はAxBとなります。

AxB =（a 2 b 3 - a 3 b 2、a 3 b 1 - a 1 b 3、a 1 b 2 - a 2 b 1）

AxBという表記のため、「A cross B」と表示されます。.

外積の使い方の一例は、A =（1、2、3）とB =（3、-2、4）がベクトルの場合、ベクトル積の定義を使うことです。

AxB =（1、2、3）x（3、-2、4）=（2 * 4 - 3 *（ - 2）、3 * 3 - 1 * 4、1 *（ - 2） - 2 * 3）

AxB =（8 + 6、9 - 4、 - 2 - 6）=（14、5、 - 8）.

ベクトル積を表現するもう1つの方法は、行列式で表されます。.

二次行列式の計算は、次式で与えられます。

したがって、定義で与えられたベクトル積の式は次のように書き直すことができます。

これは通常、次のように3次行列式で単純化されます。

ここで、i、j、kはRの基底を形成するベクトルを表します。3.

このように外積を表現すると、前の例は次のように書き直すことができます。

プロパティ

ベクトル積が持ついくつかのプロパティは以下のとおりです。

物件1

AがRのベクトルならば3, 我々はする必要があります：

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

これらのプロパティは定義のみを使用して簡単に確認できます。 A =（a1、a2、a3）の場合、次のようになります。

ＡｘＡ ＝（ａ２ａ３ − ａ３ａ２、ａ３ａ１ − ａ１ａ３、ａ１ａ２ − ａ２ａ１）＝（０，０，０）＝ ０.

Ax 0 =（a 2 * 0 - a 3 * 0、a 3 * 0 - a 1 * 0、a 1 * 0 - a 2 * 0）=（0、0、0）= 0.

i、j、kがRの単位基底を表す場合3, それらを次のように書くことができます。

i =（1、0、0）

j =（0、1、0）

ｋ ＝（０、０、１）

次に、以下の特性を満たす必要があります。

ニーモニック規則として、これらのプロパティを覚えておくために、通常次のサークルが使用されます。

それ自身があるベクトルはすべてベクトル0になり、残りの積は次の規則で得られることに注意してください。

時計回り方向の2つの連続するベクトルの外積は次のベクトルを与えます。反時計回りの方向を考えると、結果は負の符号を持つ次のベクトルです。.

これらの性質のおかげで、ベクトル積は可換ではないことがわかります。たとえば、i x j≠j x iであることに注意すれば十分です。次のプロパティは、AxBとBxAが一般的にどのように関連しているかを示しています。.

物件2

AとBがRベクトルの場合3, 我々はする必要があります：

AxB = - （B×A）.

デモンストレーション

A =（a 1、a 2、a 3）およびB =（b 1、b 2、b 3）の場合、外積の定義により、

AxB =（a 2 b 3 - a 3 b 2、a 3 b 1 - a 1 b 3、a 1 b 2 - a 2 b 1）

=（ - 1）（a 3 b 2 - a 2 b 3、a 1 b 3 - a 3 b 1、a 2 b 1 - a 1 b 2）

=（ - 1）（B×A）.

また、この製品は次の例と関連性がないことがわかります。

ix（ixj）= ixk = - jだが（ixi）xj = 0xj = 0

これから私達はそれを観察することができます：

ix（ixj）≠（ixi）xj

物件3

A、B、CがRベクトルの場合3 そしてrは実数であり、以下が成り立つ。

- Ax（B + C）= AxB + AxC

- r（AxB）=（rA）xB = Ax（rB）

これらの性質のおかげで、次数が尊重されるならば、代数の法則を使ってベクトル積を計算することができます。例えば、

A =（1、2、3）およびB =（3、-2、4）の場合、Rの標準的な基底に基づいてそれらを書き換えることができます。3.

したがって、A = i + 2j + 3k、B = 3i - 2j + 4kです。次に、以前のプロパティを適用します。

AxB =（i + 2j + 3k）x（3i - 2j + 4k）

= 3（ixi） - 2（ixj）+ 4（ixk）+ 6（jxj） - 4（jxj）+ 8（jxk）+ 9（kxi） - 6（kxj）+ 12（kxk）

= 3（0） - 2（k）+ 4（ - j）+ 6（ - k） - 4（0）+ 8（i）+ 9（j） - 6（ - i）+ 12（0）

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

=（14、5、 - 8）.

特性4（トリプルスカラ積）

冒頭で述べたように、ベクトル積以外にもベクトルを乗算する方法は他にもあります。これらの方法の1つはスカラ積または内積です。これはA∙Bと表され、その定義は次のとおりです。

A =（a1、a2、a3）かつB =（b1、b2、b3）ならば、A∙B = a1b1 + a2b2 + a3b3

両方の積に関連する特性は、トリプルスカラー積として知られています.

A、B、CがRベクトルの場合3, それからA∙BxC = AxB∙C

例として、A =（1、1、 - 2）、B =（ - 3、4、2）、C =（ - 5、1、 - 4）が与えられると、この性質が満たされることを見てみましょう。.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A∙B×C =（1、1、 - 2）∙（ - 18、 - 22、17）=（1）（ - 18）+（1）（ - 22）+（ - 2）（17）= - 74

一方、

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB∙C =（10、4、7）∙（ - 5、1、 - 4）=（10）（ - 5）+（4）（1）+（7）（ - 4）= - 74

他の三重積はAx（BxC）であり、これは三重ベクトル積として知られています。.

特性5（トリプルベクトル積）

A、B、CがRベクトルの場合3,  その後：

Ax（B×C）=（A・C）B - （A・B）C

例として、A =（1、1、 - 2）、B =（ - 3、4、2）、C =（ - 5、1、 - 4）が与えられると、この性質が満たされることを見てみましょう。.

前の例から、BxC =（ - 18、 - 22、17）であることがわかります。 Ax（BxC）を計算しましょう。

Ax（B×C）= - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

その一方で、我々はする必要があります：

A∙C =（1、1、 - 2）∙（ - 5、1、 - 4）=（1）（ - 5）+（1）（1）+（ - 2）（ - 4）= - 5 + 1 + 8 = 4

A∙B =（1、1、 - 2）∙（ - 3、4、2）=（1）（ - 3）+（1）（4）+（ - 2）（2）= - 3 + 4 - 4 = - 3

だから、我々はする必要があります：

（A∙C）B - （A∙B）C = 4（ - 3、4、2）+ 3（ - 5、1、 - 4）=（ - 12、16、8）+（ - 15、3、 - 12）=（ - 27,19、-4）

物件6

それはベクトルの幾何学的性質の一つです。 AとBがRの2つのベクトルの場合3 そして、θはこれらの間に形成される角度です。

|| AxB || = || A |||| B || sin（Θ）、ここで|| ∙||ベクトルのモジュールまたは大きさを表します.

このプロパティの幾何学的解釈は次のとおりです。

Ａ ＝ ＰＲ、Ｂ ＝ ＰＱとする。次に、次の図に示すように、ベクトルAとBのなす角が三角形RQPの角Pです。.

したがって、辺としてPRとPQが隣接する平行四辺形の面積は、|| A |||| B || sin（Θ）です。そしてその高さは|| B || sin（Θ）で与えられる。.

このため、|| AxB ||と結論付けることができます。平行四辺形の面積は.

例

四辺形Ｐ（１、−２，３）、Ｑ（４，３、−１）、Ｒ（２，２，１）およびＳ（５，７、−３）の次の頂点が与えられると、その四辺形を示す。平行四辺形であり、その領域を見つける.

このために、まず四辺形の辺の方向を決めるベクトルを決めます。これは、

A = PQ =（1 - 4、3 + 2、 - 1 - 3）=（3、5、 - 4）

B = PR =（2 - 1、2 + 2、1 - 3）=（1、4、 - 2）

C = RS =（5 - 2、7 - 2、 - 3 - 1）=（3、5、 - 4）

D = QS =（5 - 4、7 - 3、 - 3 + 1）=（1、4、 - 2）

AとCは同じベクトルディレクタを持っていることがわかりますが、そのためには両方とも平行であることがわかります。 BとDについても同様です。したがって、PQRSは平行四辺形であると結論します。.

上記平行四辺形の面積を求めるために、BxAを計算します。

Ｂ×Ａ ＝（ｉ ＋ ４ｊ − ２ｋ）×（３ｉ ＋ ５ｊ − ４ｋ）

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

したがって、平方面積は次のようになります。

|| BxA ||2 =（ - 6）2 + （ - 2）2 + （ - 7）2 = 36 + 4 + 49 = 89.

平行四辺形の面積は89の平方根になると結論付けることができます。.

物件7

2つのベクトルAとBはRでは平行です3 はい、AxB = 0の場合のみ

デモンストレーション

AまたはBがヌルベクトルの場合、AxB = 0になることは明らかです。ゼロベクトルは他のベクトルと平行であるため、そのプロパティは有効です。.

2つのベクトルのどれもがゼロベクトルでなければ、それらの大きさはゼロとは異なるということになります。つまり、両方です|| A || || B ||のように≠0 ≠0なので、|| AxB || sin（Θ）= 0の場合に限り、= 0であり、Θ=πまたはΘ= 0の場合に限り、これが発生します。.

したがって、Θ=πまたはΘ= 0の場合に限り、AxB = 0と結論付けることができます。これは、両方のベクトルが互いに平行である場合にのみ発生します。.

物件8

AとBがRの2つのベクトルの場合3, AxBはAとBの両方に垂直です.

デモンストレーション

このデモでは、A∙Bがゼロの場合、2つのベクトルが直交することを忘れないでください。さらに、我々はそれを知っています：

A∙AxB = AxA∙Bですが、AxAは0です。したがって、次のようになります。

A・AxB = 0・B = 0.

これにより、AとAxBは互いに垂直であると結論付けることができます。同様に、次のことが必要です。

AxB∙B = A∙B×B.

BxB = 0なので、次のようになります。

AxB∙B = A∙0 = 0.

したがって、ＡｘＢとＢは互いに垂直であり、これによりその性質が実証される。平面の方程式を決定することができるので、これは非常に便利です。.

例1

点P（1、3、2）、Q（3、 - 2、2）、R（2、1、3）を通る平面の方程式を得る.

A = QR =（2 - 3,1 + 2、3 - 2）、B = PR =（2 - 1、1 - 3、3 - 2）とします。そして、A = - i + 3j + k、B = i - 2j + kです。これら3つの点で形成される平面を見つけるには、その平面に垂直なベクトルを見つけるだけで十分です（AxB）。.

AxB =（ - i + 3j + k）x（i - 2j + k）= 5i + 2j - k.

このベクトルを使い、点P（1、3、2）をとると、平面の方程式は次のように決定できます。

（5、2、 - 1）∙（x - 1、y - 3、z - 2）= 5（x - 1）+ 2（y - 3） - （z - 2）= 0

したがって、平面の方程式は5x + 2y - z - 9 = 0となります。.

例2

点P（4、0、 - 2）を含み、平面x - y + z = 0と2 x + y - 4z - 5 = 0のそれぞれに垂直な平面の方程式を求めます。 .

平面ax + by + cz + d = 0に対する法線ベクトルが（a、b、c）であることを知っているので、（1、-1,1）はx - y + z = 0 yの法線ベクトルであることがわかります。 2.1、 - 4）は2x + y - 4z - 5 = 0の法線ベクトルです。.

したがって、必要な平面に対する法線ベクトルは、（1、-1,1）とa（2、1、 - 4）に垂直でなければなりません。前記ベクトルは：

（1、-1,1）x（2,1、 - 4）= 3i + 6j + 3k.

そして、求められる平面は、点P（4,0、 - 2）を含み、法線ベクトルとしてベクトル（3,6,3）を持つ平面であることがわかります。.

3（x - 4）+ 6（y - 0）+ 3（z + 2）= 0

x + 2y + z - 2 = 0.

アプリケーション

平行六面体の体積の計算

トリプルスカラー積を持つアプリケーションでは、図に示すように、エッジがベクトルA、B、Cで与えられる平行六面体の体積を計算できます。

このアプリケーションは次のように推測できます。前述のように、ベクトルAxBはAとBの平面に垂直なベクトルです。ベクトル - （AxB）もこの平面に垂直なベクトルです。.

ベクトルCと最小の角度をなす法線ベクトルを選択します。一般性を失うことなく、AxBをCとの角度が最小のベクトルとします。.

AxBとCの両方が同じ出発点を持っています。さらに、平行六面体の底辺を形成する平行四辺形の面積は|| AxB ||であることがわかります。したがって、平行六面体の高さをhとすると、その体積は次のようになります。

V = || AxB || h.

一方、AxBとCの間のスカラー積を考えます。これは次のように記述できます。

しかし、三角法の性質により、h = || C || cos（Θ）となるので、次のようになります。

このようにして、我々はしなければなりません：

一般論として、平行六面体の体積は三重スカラー積AxB・Cの絶対値で与えられます。.

解決した演習

演習1

点Ｐ ＝（５、４、５）、Ｑ ＝（４、１０、６）、Ｒ ＝（１、８、７）およびＳ ＝（２、６、９）を考えると、これらの点はその辺が直方体を形成する。それらはPQ、PR、PSです。平行六面体の体積を決定する.

解決策

我々が取るならば：

- A = PQ =（-1、6、1）

- B = PR =（ - 4、4、2）

- C = PS =（-3、2、2）

トリプルスカラー積の特性を使用して、我々はしなければなりません：

ＡｘＢ ＝（−１，６，１）×（−４，４，２）＝（８、−２，２０）.

AxB・C =（8、-2、20）・（-3、2、2）= -24 -4 + 80 = 52.

したがって、平行六面体の体積は.

演習2

エッジがA = PQ、B = PR、C = PSで与えられる平行六面体の体積を求めます。ここで、点P、Q、R、Sは（1、3、4）、（3、5、3）です。それぞれ（2、1、6）と（2、2、5）.

解決策

まず、A =（2、2、-1）、B =（1、-2、2）、C =（1、-1、1）です。.

AxB =（2、2、-1）x（1、-2、2）=（2、-5、-6）を計算します。.

それからAxB∙Cを計算します。

AxB∙C =（2、-5、-6）∙（1、-1、1）= 2 + 5 - 6 = 1.

したがって、平行六面体の体積は1立方ユニットであると結論します。.

参考文献

  1. Leithold、L.（1992）. 解析幾何学による計算. ハーラ、S.A.
  2. Resnick、R.、Halliday、D.、＆Krane、K.（2001）. 物理1巻. メキシコ：大陸.
  3. Saenz、J.（s.f.）. ベクトル計算1ed. 斜辺.
  4. Spiegel、M. R.（2011）. ベクトル分析2ed. マックグローヒル.
  5. Zill、D. G.、＆Wright、W.（2011）. 様々な変数の計算4ed. マックグローヒル.