ベイズの定理の説明、応用、演習



の ベイズの定理 Aが与えられたイベントBの確率分布とAのみが与えられた確率分布の観点から、Bが与えられたランダムイベントAの条件付き確率を表すことができる手続きです。.

この定理は非常に有用です。なぜなら、それが原因で、Bが発生したことを知っているイベントAが発生する確率と、逆のことが起こる確率、つまりAが与えられたときにBが発生する確率とを関連付けることができるからです。.

ベイズの定理は、数学者でもあった18世紀の英国の神学者トーマスベイズ牧師による銀の命題でした。彼は神学におけるいくつかの作品の著者であったが、現在、前述のベイズの定理が主な結果として際立っている、2、3の数学的論文で知られている。.

1763年に出版された「可能性の教義における問題の解決に向けてのエッセイ」と題された論文において、ベイズはこの定理を扱い、そして可能性の教義における問題を解決するために大きな作品が開発された。様々な知識分野での応用に関する研究.

索引

  • 1説明
  • 2ベイズの定理の応用
    • 2.1解決済みの課題
  • 3参考文献

説明

まず、この定理をさらに理解するためには、確率論のいくつかの基本的な概念、特に条件付き確率のための乗算定理が必要です。

サンプル空間SのEおよびA任意イベント.

そしてパーティションの定義。これはAがあれば1 ,A2,...、An サンプル空間Sのイベント、これらがAの場合、Sのパーティションを形成します。私は それらは相互に排他的であり、それらの連合はSです。.

これを持って、Bを別の出来事としましょう。それで、Bを

どこA私は Bと交差するのは相互に排他的なイベントです.

そしてその結果,

次に、乗算定理を適用します

一方、Bに対するAiの条件付き確率は、次のように定義されます。

適切に置き換えれば

ベイズの定理の応用

この結果のおかげで、研究グループや多様な企業は、知識に基づくシステムを改善することに成功しました。.

例えば、病気の研究において、ベイズの定理は、世界的な病気の発生率とその特徴の優位性をデータとして取り、与えられた特徴を持つ人々の集団で病気が見つかる確率を見分けるのに役立ちます。健康と病気の両方の人々.

一方、高度な技術の世界では、この結果のおかげで、ソフトウェアに基づいて開発されている大企業に影響を与えている "知識に基づいて".

毎日の例として、Microsoft Officeのアシスタントがいます。ベイズの定理は、ソフトウェアがユーザが提示する問題を評価し、どんなアドバイスを提供するべきかを決定するのを助け、したがって、ユーザの習慣に従ってより良いサービスを提供することができるようにする。.

この式は最近まで無視されていましたが、これは主にこの結果が200年前に開発されたときにはほとんど実用的ではなかったという事実によるものです。しかし、私たちの時代には、技術的な進歩のおかげで、科学者たちはこの結果を実践に移す方法を達成しました。.

解決した演習

演習1

ある携帯電話会社には2台のマシンAとBがあります。製造された携帯電話の54％はマシンAによって製造され、残りはマシンBによって製造されています。.

Aで製造された欠陥のある携帯電話の割合は0.2であり、Bによる製造は0.5です。その工場の携帯電話に欠陥がある可能性はどのくらいですか？携帯電話に欠陥があることを知って、マシンAから来る可能性は何ですか?

解決策

ここでは、2つの部分で行われる実験があります。最初の部分ではイベントが発生します。

A：マシンA製の携帯電話.

B：マシンB製の携帯電話.

マシンAは携帯電話の54％を生産し、残りはマシンBによって生産されるので、マシンBは携帯電話の46％を生産します。これらの事象の確率、すなわち、

P（A）= 0.54.

P（B）= 0.46.

実験の後半部分のイベントは次のとおりです。

D：不良セル.

Ｅ：良品セル.

それが声明で言われるように、これらの出来事の確率は最初の部分で得られた結果に依存します：

P（D | A）= 0.2.

P（D | B）= 0.5.

これらの値を使用して、これらのイベントの補数の確率を決定することもできます。

P（E | A）= 1 - P（D | A）

= 1 - 0.2

= 0.8

そして

p（E | B）= 1 - P（D | B）

= 1 - 0.5

= 0.5.

さて、イベントDは次のように書くことができます。

条件付き確率に対する乗算定理を使用すると、次のようになります。

最初の質問に答えている.

今度は、ベイズの定理が適用されるP（A | D）を計算するだけです。

ベイズの定理のおかげで、携帯電話に欠陥があることを知っているので、携帯電話がマシンAによって作られた確率は0.319であると言えます。.

演習2

3つの箱には白と黒のボールが入っています。それらの各々の組成は以下の通りである：Ｕ１ ＝ ｛３Ｂ、１Ｎ｝、Ｕ２ ＝ ｛２Ｂ、２Ｎ｝、Ｕ３ ＝ ｛１Ｂ、３Ｎ｝.

ボックスの1つがランダムに選択され、そこからランダムなボールが抽出され、それが白になります。どちらが選ばれた可能性が最も高いボックスです?

解決策

U1、U2、U3を通じて、選択したボックスも表します。.

これらの事象はＳの分割を構成し、ボックスの選択はランダムであるのでＰ（Ｕ１）＝ Ｐ（Ｕ２）＝ Ｐ（Ｕ３）＝ １​​ ／ ３であることが検証される。.

B = 抽出されたボールが白の場合、P（B | U1）= 3/4、P（B | U2）= 2/4、P（B | U3）= 1/4になります。 .

私たちが得たいのは、ボールが白であることを知っているときにボールが箱Uiから取り出された確率、すなわちP（Ui | B）であり、3つの値のどれがどれが最も高いかを知る箱は白い球の抽出である可能性が最も高い.

最初の箱にベイズの定理を適用する：

そして他の二つのために：

P（U 2 | B）= 2/6そしてP（U 3 | B）= 1/6.

それから、最初のボックスは白いボールの抽出のために選ばれた可能性がより高いものです。.

参考文献

  1. カイ・ライチョン確率過程を伴う初等確率論Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H。離散数学とその応用S.A.MCグローヒル/ INTERAMERICANA DEESPAÑA.
  3. ポールL.マイヤー。確率と統計的応用S.A.メキシコのアルハンブラ.
  4. シーモア・リップシュッツPh.D. 2000年離散数学は問題を解いた。マクグローヒル.
  5. シーモア・リップシュッツPh.D.確率の理論と問題マクグローヒル.