二項定理のデモンストレーションと例



の 二項定理 （a + b）の形の式をどのように展開するかを教えてくれる方程式です。n ある自然数nに対して。二項式は、（a + b）のように、2つの要素の合計以下です。それはまた私達がによって与えられる言葉のために知ることを可能にしますkbn-k それに伴う係数は何ですか.

この定理は一般的にイギリスの発明者、物理学者そして数学者のSir Isaac Newtonに帰せられる。しかし、中東ではその存在がすでに知られていたことを示すいくつかの記録が、1000年頃に発見されました.

索引

  • 1組み合わせ番号
  • 2デモンストレーション
  • 3例
    • 3.1アイデンティティ1
    • 3.2アイデンティティ2
  • 4もう一つのデモンストレーション
    • 4.1帰納法によるデモンストレーション
  • 5つの珍品
  • 6参考文献

組み合わせ数

二項定理は、数学的に次のことを示しています。

この式で、aとbは実数、nは自然数です。.

デモンストレーションをする前に、必要な基本概念をいくつか見てみましょう。.

k内のnの組み合わせ数または組み合わせは、次のように表されます。

この形式は、n個の要素の集合からk個の要素を持つサブセットをいくつ選択できるかの値を表します。その代数式は次の式で与えられます。

例を見てみましょう。7つのボールのグループがあり、そのうち2つが赤で残りが青であるとします。.

それらを連続して注文する方法がいくつあるかを知りたいです。 1つの方法は、2つの赤を1番目と2番目の位置に配置し、残りのボールを残りの位置に配置することです。.

前の場合と同様に、赤いボールにそれぞれ最初と最後の位置を指定し、他のボールを青いボールで占有することができます。.

さて、ボールを一列に並べる方法を数えるための効果的な方法は、組み合わせ数を使うことです。それぞれの位置を次のセットの要素として見ることができます。

次に、2つの要素からなるサブセットを選択するだけです。これらの要素のそれぞれが、赤いボールが占める位置を表しています。次の式で与えられる関係に従って、この選択をすることができます。

このように、私たちはそのようなボールをソートする21の方法があることを持っています.

この例の一般的な考え方は、二項定理の証明に非常に役立ちます。特定のケースを見てみましょう。n= 4の場合、（a + b）となります。4, それは何もないです：

この製品を開発すると、4つの各要素（a + b）の要素を乗算して得られる項の合計が得られます。したがって、次の形式の用語があります。

フォームの用語を4, 次のようにして乗算するだけです。

この要素を取得する方法は1つだけです。しかし、次のようにフォームの用語を探すとどうなりますか。2b2? "a"と "b"は実数であり、したがって可換則が有効なので、この項を得るには、矢印で示されているようにメンバーを掛けることです。.

これらすべての操作を実行するのは通常やや面倒ですが、4つの要素から2つの「a」を選択できる方法を知りたい場合に「a」という用語を使用すると、前の例の概念を使用できます。だから、我々は次のとおりです。

だから、私たちは式（a + b）の最終的な展開においてそれを知っています4 正確に6a2b2. 他の要素についても同じ考えを使用して、次のことを行う必要があります。

それから以前に取得した式を追加します。

これは、 "n"が任意の自然数である一般的な場合の正式なデモです。.

デモンストレーション

開発時に残る用語に注意してください（a + b）n の形をしているkbn-k, ここで、k = 0,1、...、nです。前の例のアイデアを使用して、 "n"因子から "k"変数 "a"を選択する方法があります。

このように選択することによって、我々は自動的にｎ − ｋ個の変数「ｂ」を選択している。これより、次のようになります。

例

（a + b）を考える5, その開発は何だろう?

二項定理により、次のようになります。

二項定理は、完全な展開を実行せずに特定の項の係数が何であるかを知りたい式がある場合に非常に役立ちます。例として、次の質問をすることができます：xの係数は何ですか？7そして9 （x + y）の発展に16?

二項定理により、係数は次のようになります。

もう1つの例は次のようになります。xの係数は何ですか5そして8 （3x-7y）の開発中13年?

まず、式を便利な方法で書き換えます。これは、

次に、二項定理を使用して、目的の係数はk = 5のときになることになります。

この定理の使用の他の例は、以下に述べるような、いくつかの一般的な恒等式の証明にあります。.

アイデンティティ1

"n"が自然数であるならば、我々はしなければなりません：

デモンストレーションには、 "a"と "b"の両方が1の値をとる二項定理を使用します。

このようにして私達は最初のアイデンティティを証明しました.

アイデンティティ2

"n"が自然数の場合、

二項定理により、次のようになります。

もう一つのデモンストレーション

帰納法とパスカル恒等式を使用して、二項定理に対して異なるデモンストレーションを行うことができます。これは、 "n"と "k"がn≥kを満たす正の整数である場合、次のようになります。

誘導によるデモンストレーション

まず、帰納的基礎が満たされていることを見てみましょう。 n = 1の場合、次のようになります。

確かに、私たちはそれが満たされているのを見ます。今、それが満たされるようにn = jとします。

n = j + 1に対して、次のことが満たされることを確認します。

だから、我々はする必要があります：

仮説によって、我々はそれを知っている：

次に、分配特性を使用します。

続いて、私たちが持っているそれぞれの要約を発展させます：

今、私たちが便利な方法で一緒にグループ化するならば、我々はしなければなりません：

パスカルのアイデンティティを使用して、我々はしなければなりません：

最後に、注意してください。

したがって、2項定理は自然数に属するすべての "n"に対して満たされ、これでテストは終了です。.

珍品

組み合わせ数（nk）は、二項係数（a + b）の展開に現れる係数であるため、二項係数とも呼ばれます。n.

Isaac Newtonは、指数が実数の場合について、この定理の一般化を行いました。この定理はニュートンの二項定理として知られています.

すでに古くから、この結果は、ｎ ＝ ２である特定の場合について知られていた。この事件は 要素 ユークリッド.

参考文献

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