バリニヨンの定理の例と解法



の バリニヨンの定理 四辺形で点が辺に連続して結合されている場合は、平行四辺形が生成されることを証明します。この定理はPierre Varignonによって公式化され、1731年に出版されました。 数学の要素「.

この本の出版は彼の死後何年も経った。 Varignonがこの定理を提示した人だったので、平行四辺形は彼にちなんで名付けられました。この定理はユークリッド幾何学に基づいており、四辺形の幾何学的関係を表しています。.

索引

  • 1バリニヨンの定理とは何ですか？?
  • 2例
    • 2.1最初の例
    • 2.2 2番目の例
  • 3練習問題が解決しました
    • 3.1演習1
    • 3.2演習2
    • 3.3演習3
  • 4参考文献

バリニヨンの定理は何ですか？?

Varignonは、四辺形の中点で定義された図形は常に平行四辺形になると主張し、この面積が四角形の面積が平らで凸形であれば常にその半分になります。例えば、

この図では、辺の中点がE、F、G、およびHで表され、それらが結合されると平行四辺形を形成する領域Xを持つ四辺形を見ることができます。四辺形の面積は、形成された三角形の面積の合計になり、この半分は平行四辺形の面積に対応します。.

平行四辺形の面積は四辺形の面積の半分であるため、その平行四辺形の周囲長を求めることができます。.

したがって、周囲長は四辺形の対角線の長さの合計に等しくなります。これは、四辺形の中央値が平行四辺形の対角線になるためです。.

一方、四辺形の対角線の長さがまったく同じであれば、平行四辺形はひし形になります。例えば、

図から、四辺形の辺の中点を結ぶことによって、菱形が得られることが分かる。一方、四辺形の対角線が垂直の場合、平行四辺形は長方形になります。.

また、四辺形の対角線の長さが同じで、垂直でもある場合、平行四辺形は正方形になります。.

この定理は平らな四辺形で満たされるだけでなく、空間幾何学や大次元でも実行されます。つまり、凸ではない四辺形です。この例としては、中点が各面の重心であり、平行六面体を形成する八面体があります。.

このように、異なる図形の中点を結ぶことによって、平行四辺形を得ることができます。これが本当に当てはまるかどうかを確認する簡単な方法は、それらが拡張されるときに反対側が平行でなければならないということです。.

例

最初の例

それが平行四辺形であることを示すための反対側の延長

2番目の例

菱形の中点を結ぶことによって長方形を得ます：

この定理は、四辺形の辺の中央にある点の和集合で使用され、三等分、五分の一区画、さらには無限の数の区画など、他の種類の点にも使用できます。四辺形の辺を比例するセグメントに分割するために.

解決した演習

演習1

この図では、この辺の中点がPQSRである領域Zの四辺形ABCDがあります。 Varignonの平行四辺形が形成されていることを確認します.

解決策

PQSR点を結合すると、バリニヨンの平行四辺形が形成されることが検証できます。これは、ステートメント内で四辺形の中点が与えられるためです。.

これを実証するために、中間点ＰＱＳＲが結合されているので、別の四辺形が形成されていることが分かる。それが平行四辺形であることを示すためには、単に点Cから点Aへ直線を引く必要があるので、CAはPQとRSに平行であることがわかります。.

同様に、PQRS側を拡張することにより、次の図に示すように、PQとRSが平行であることがわかります。

演習2

それはそのすべての辺の長さが等しくなるような長方形を持っています。これらの辺の中点を結ぶと、長方形の辺の寸法と一致する2つの対角線AC = 7cmとBD = 10cmで分割される菱形ABCDが形成されます。菱形と四角形の領域を決定する.

解決策

結果として得られる平行四辺形の面積は四辺形の半分であることを思い出してください。対角線の大きさが長方形の辺と一致することを確認すれば、これらの面積を決定できます。だからあなたはする必要があります：

AB = D

CD = d

A四角形 =（AB * CD）=（10センチ） * 7 cm）= 70 cm2

Aひし形 = A 四角形 / 2

Aひし形 = 70センチ2 / 2 = 35 cm2

演習3

この図では、点EFGHの和集合を持つ四辺形があり、線分の長さが示されています。 EFGHの和集合が平行四辺形かどうかを判定.

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

FC = 3.94 HA = 2.77

解決策

セグメントの長さを考えると、セグメント間に比例関係があるかどうかを検証することが可能です。つまり、これらが平行かどうかを知ることができ、四辺形のセグメントを次のように関連付けます。

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

それから、比例性がチェックされます。

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

同様に、点Bから点Dまでの線をプロットすると、ちょうどBDがFGに平行であるように、EHがBDに平行であることがわかります。一方、EFはGHと平行です.

このようにして、反対側が平行であるため、EFGHは平行四辺形であると判断できます。.

参考文献

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