変換されたラプラスの定義、歴史、目的、特性



の ラプラスから変換 近年、工学、数学、物理学の研究において非常に重要になっているだけでなく、理論に大きな関心がある、科学と工学から来る問題を解決する簡単な方法を提供します.

もともとラプラス変換は、確率論に関する彼の研究においてピエール - シモンラプラスによって提示され、当初は単に理論的に興味のある数学的対象として扱われていました。.

さまざまな数学者が、Heavisideによって電磁気理論の方程式の研究で使用される「操作規則」に形式的な正当性を与えようとしたときに、現在のアプリケーションが発生します。.

索引

  • 1定義
    • 1.1例
    • 1.2定理（存在するのに十分な条件）
    • 1.3いくつかの基本関数のラプラス変換
  • 2歴史
    • 2.1 1782、ラプラス
    • 2.2オリバー・ヘヴィサイド
  • 3プロパティ
    • 3.1直線性
    • 3.2最初の翻訳定理
    • 3.3第二の変換定理
    • 3.4スケール変更
    • 3.5ラプラスの導関数の変換
    • 3.6積分のラプラス変換
    • 3.7 tnによる乗算
    • 3.8 tによる除算
    • 3.9周期関数
    • 3.10 sが無限大になる傾向がある場合のF（s）の動作
  • 4逆変換
    • 4.1運動
  • 5ラプラス変換の応用
    • 5.1微分方程式
    • 5.2微分方程式系
    • 5.3力学と電気回路
  • 6参考文献

定義

ｆをｔ≧０に対して定義された関数とする。ラプラス変換は次のように定義される。

前の積分が収束すればラプラス変換は存在すると言われ、そうでなければラプラス変換は存在しないと言われる.

一般に、変換したい関数を示すために、小文字が使用され、大文字はその変換に対応します。このようにして、私たちは持つことになります。

例

定数関数f（t）= 1を考えます。その変換は次のようになります。

積分が収束するときはいつでも、常にs> 0が与えられます。そうでなければ、s < 0, la integral diverge.

ｇ（ｔ）＝ ｔとする。あなたのラプラス変換は

部品ごとに統合し、あなたがそれを知っていることによって-セント tが無限大になり、s> 0になると、0になる傾向があります。前の例と一緒に、

変換は存在してもしなくてもよく、例えば関数ｆ（ｔ）＝ １ ／ ｔに対してそのラプラス変換を定義する積分は収束しないのでその変換は存在しない.

関数fのラプラス変換が存在することを保証するのに十分な条件は、fがt≥0の間部分的に連続であり、指数関数的次数であることです。.

ある区間[a、b]がa> 0の場合、有限個の点tがあるとき、関数はt≥0の間部分的に連続であると言われます。k, ここで、fは不連続性を持ち、各部分区間で連続です。k-1,トンk].

一方、実定数M> 0、c、T> 0がある場合、関数は指数関数的に次数cのようになります。

例として、f（t）= tとなる2 | tは指数関数的順序である2| < e3t すべてのt> 0.

形式的には、次の定理があります。

定理（存在するための十分条件）

fがt> 0の指数関数的順序cの部分ごとの連続関数である場合、s> cのラプラス変換があります。.

これが十分条件であることを強調することは重要です。つまり、これらの条件を満たさない関数があり、それでもそのラプラス変換が存在する場合があります。.

この例は、関数f（t）= tです。-1/2 それはt≥0に対して部分的に連続的ではないが、そのラプラス変換は存在する.

いくつかの基本関数のラプラス変換

次の表は、最も一般的な関数のラプラス変換を示しています。.

歴史

ラプラス変換は、1749年に生まれ、1827年に亡くなったピエール - サイモンラプラス、数学者およびフランスの理論上の天文学者にその名前を負っています。.

1744年、レオナルドオイラーは彼の研究を次の形式の積分に捧げました。

常微分方程式の解として、しかしすぐにこの調査を断念した。後に、オイラーを大いに賞賛したジョセフ・ルイス・ラグランジュもこの種の積分を調べ、それらを確率論と関連づけました。.

1782年、ラプラス

1782年にラプラスは微分方程式の解としてこれらの積分を研究し始め、そして歴史家によれば1785年に彼は今日理解されているようにラプラス変換を後で生み出した問題を再定式化することにした。.

確率論の分野に導入されてきたが、それは当時の科学者たちにとってはほとんど興味がなく、理論的な興味だけの数学的対象としてのみ見られていた。.

オリバー・ヘヴィサイド

19世紀半ばにイギリスのエンジニアOliver Heavisideが微分演算子を代数変数として扱うことができることを発見したため、現代のラプラス変換への応用が可能になりました。.

Oliver Heavisideは、イギリスの物理学者、電気技師、そして数学者で、ロンドンで1850年に生まれ、1925年に亡くなりました。ラプラス変換の現代の応用.

Heavisideによって示された結果は当時の科学界全体に急速に広まりましたが、その仕事は厳密ではなかったのでそれはより伝統的な数学者によってすぐに批判されました.

しかし、物理方程式を解くためのHeavisideの研究の有用性は、彼の方法を物理学者やエンジニアに人気のあるものにしました。.

これらの後退にもかかわらずそして数十年の失敗した試みの後でも、20世紀の初めにはHeavisideによって与えられた運用規則への厳密な正当化が与えられることができた。.

これらの試みは、とりわけ、ブロムウィッチ、カーソン、ファンデルポルなどの多様な数学者の努力のおかげで成果を上げました。.

プロパティ

ラプラス変換の特性の中で、次のことが際立っています。

直線性

c1とc2を定数とし、ラプラス変換がそれぞれF（s）とG（s）であるf（t）とg（t）関数とすると、次のようになります。

この性質により、ラプラス変換は線形演算子であると言われています.

例

第一翻訳定理

それが起こるならば：

そして、 'a'は任意の実数です。

例

cos（2t）のラプラス変換= s /（s ^ 2 + 4）として、

第二の変換定理

はい

それから

例

f（t）= t ^ 3の場合、F（s）= 6 / s ^ 4となります。そしてそれゆえ、

G（s）= 6e-2秒/ s ^ 4

スケール変更

はい

そして 'a'はゼロではない実数です。

例

f（t）= sin（t）の変換はF（s）= 1 /（s ^ 2 + 1）なので、次のようになります。

ラプラスの導関数の変換

f、f '、f "、...、fの場合（n） t≥0の間連続であり、指数関数的次数であり、f（n）（t）はt≥0に対して部分的に連続している

積分のラプラス変換

はい

それから

tによる乗算n

我々がしなければならない場合

それから

tによる除算

我々がしなければならない場合

それから

周期関数

fを周期T> 0の周期関数、すなわちf（t + T）= f（t）とすると、

sが無限大になる傾向がある場合のF（s）の動作

fが部分的に指数関数的順序で連続している場合

それから

逆変換

ラプラス変換を関数f（t）に適用すると、その変換を表すF（s）が得られます。同様に、f（t）はF（s）の逆ラプラス変換であり、次のように書くことができます。

f（t）= 1とg（t）= tのラプラス変換は、F（s）= 1 / sとG（s）= 1 / sであることがわかります。2 それゆえ、それぞれ

一般的な逆ラプラス変換は次のとおりです。

さらに、逆ラプラス変換は線形です。つまり、

エクササイズ

見つける

この課題を解決するには、関数F（s）を前の表のいずれかと一致させる必要があります。この場合、n + 1 = 5とし、逆変換の線形性を使用すると、4で乗算および除算されます。取得

2番目の逆変換では、部分分数を適用して関数F（s）を書き換え、次に線形性の性質を書き換えます。

これらの例からわかるように、評価される関数F（s）は、表に示されている関数のいずれとも厳密には一致しません。このような場合、観察されるように、適切な形式に達するまで関数を書き直すだけで十分です。.

ラプラス変換の応用

微分方程式

ラプラス変換の主な用途は、微分方程式を解くことです。.

導関数の変換の性質を使うと、明らかに

そしてt = 0で評価されたn-1個の導関数のうち.

この特性は、定数係数の微分方程式が含まれる初期値問題を解くために変換を非常に有用にします。.

次の例は、ラプラス変換を使用して微分方程式を解く方法を示しています。.

例1

以下の初期値問題を考える

解を見つけるためにラプラス変換を使う.

ラプラス変換を微分方程式の各要素に適用します。

導関数の変換の性質については、

すべての表現を発展させ、クリアすることで、And（s）が残されます。

得られた方程式の右辺を書き直すために部分分数を使う

最後に、私たちの目標は微分方程式を満たす関数y（t）を見つけることです。逆ラプラス変換を使用すると、結果が得られます。

例2

解決する

前の場合と同様に、式の両側に変換を適用し、項を項ごとに分けます。.

このようにして、私たちは結果として持っています

与えられた初期値に置き換えてYをクリアする

単純な分数を使って、次のように方程式を書き直すことができます

そしてラプラスの逆変換を適用すると、結果として次のようになります。

これらの例では、この方法は微分方程式を解くための従来の方法よりはるかに優れていないという誤った結論に達する可能性があります。.

ラプラス変換によって提供される利点は、パラメータ変動を使用する必要がないこと、または不定係数法のさまざまな場合について心配する必要がないことです。.

この方法で初期値の問題を解決することに加えて、最初から初期条件を使用するので、特定の解を見つけるために他の計算を実行する必要はありません。.

微分方程式系

次の例に示すように、ラプラス変換を使って連立常微分方程式の解を求めることもできます。.

例

解決する

初期条件x（0）= 8 eおよび（0）= 3.

我々がしなければならない場合

それから

私たちの結果を解決する

そしてラプラス逆変換を適用するとき、

力学と電気回路

ラプラス変換は物理学において非常に重要であり、主に機械的および電気的回路への応用があります。.

簡単な電気回路は、次の要素で構成されています。

スイッチ、バッテリーまたは電源、インダクタ、抵抗、コンデンサ。スイッチが閉じると、ｉ（ｔ）で表される電流が発生する。コンデンサの電荷はq（t）で表されます。.

キルヒホッフの第二法則により、閉回路への電源Eによって生成される電圧は、各電圧降下の合計に等しくなければなりません.

電流ｉ（ｔ）は、コンデンサ内の電荷ｑ（ｔ）と、ｉ ＝ ｄｑ ／ ｄｔの関係にある。一方、電圧降下は各要素で次のように定義されます。

抵抗の電圧降下は、i R = R（dq / dt）です。

インダクタの電圧降下は、L（di / dt）= L（d）です。2q / dt2）

コンデンサの電圧降下はq / Cです

このデータと2次キルヒホッフ則を閉単回路に適用すると、システムを記述し、q（t）の値を決定することを可能にする2次微分方程式が得られます。.

例

同図に示すように、電池Ｅには、インダクタ、コンデンサ、抵抗が接続されている。インダクタは2ヘンリー、コンデンサは0.02ファラッド、抵抗は16オームです。時間ｔ ＝ ０において、回路は閉じられる。 E = 300ボルトの場合、t> 0の任意の時点で負荷と電流を求めます。.

この回路を記述する微分方程式は次のようになります。

初期条件がq（0）= 0の場合、i（0）= 0 = q '（0）.

ラプラス変換を適用すると、

そしてQ（t）をクリアする

それから、逆ラプラス変換を適用すると、

参考文献

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