形式x ^ 2 + bx + cの3項式（例付き）



解決することを学ぶ前に x ^ 2 + bx + cの形の三項, そして三項の概念を知る前でさえも、二つの本質的な概念を知ることが重要です。すなわち、単項式と多項式の概念です。単項式は、a * x型の式です。n, ここで、aは有理数、nは自然数、xは変数です。.

多項式は、次の形式の単項式の線形結合です。n* xn+あるn-1* xn-1+... + a2* x2+ある1* x + a0, それぞれの私は, i = 0、...、nの場合、有理数、nは自然数、a_nはゼロ以外です。この場合、多項式の次数はnであると言われます。.

次数が異なる2つの項（2つの単項式）のみの合計で形成される多項式は、二項式として知られています。.

索引

  • 1三項
    • 1.1完全平方三項
  • 2グレード2の3項式の特徴
    • 2.1パーフェクトスクエア
    • 2.2溶剤処方
    • 2.3幾何学的解釈
    • 2.4三項式の因数分解
  • 3例
    • 3.1例1
    • 3.2例2
  • 4参考文献

トリノミー

次数が異なる3つの項（3つの単項式）の和によって形成される多項式は、3項式と呼ばれます。以下は三項式の例です。

  • ×3+×2+5倍
  • 2倍4-×3+5
  • ×2+6x + 3

三項式にはいくつかの種類があります。これらのうち、完璧な四角形の三項.

パーフェクトスクエア三項

完全二乗三項式は、二項二乗法を立てた結果です。例えば、

  • （3×2）2= 9倍2-12倍+ 4
  • （2倍3+y）2= 4倍6+4倍3y + y2
  • （4倍2-2年4）2= 16倍4-16倍2そして4+4年8
  • 1/16倍2そして8-1 / 2xy4z + z2=（1 / 4xy）4）2-2（1 / 4xy4）z + z2=（1 / 4xy）4-z）2

グレード2の3項式の特徴

パーフェクトスクエア

一般に、形式axの三項2+判別式がゼロの場合、bx + cは完全な二乗です。それならば、b2-4ac = 0、この場合それはただ一つの根を持ち、a（x-d）の形で表すことができるので2=（√a（x-d））2, dはすでに述べたルートです。.

多項式の根は、多項式がゼロになる数です。言い換えれば、多項式の式の中でxをxに置き換えることによって、ゼロになる数.

溶剤処方

形式axの2次多項式の根を計算するための一般式2+bx + cは、これらの根が（ - b±√（b2-4ac））/ 2a、ここでb2-4acは判別式として知られており、通常Δで表されます。この公式から次のようになります2+bx + cは、

- Δ> 0の場合、2つの異なる実根.

- Δ= 0の場合は単一の実根.

- Δなら実根はありません<0.

以下では、xの三項式だけを考えます。2+bx + c、ここで明らかにcはゼロ以外の数でなければなりません（そうでなければそれは二項式になります）。この種の三項式は、それらを因数分解して操作するときに特定の利点があります。.

幾何学的解釈

幾何学的には、3項x2+bx + cは上向きに開いた点で頂点を持つ放物線です（-b / 2、-b2xのための直交平面の/ 4 + c）2+bx + c =（x + b / 2）2-b2/ 4 + c.

この放物線はY軸を点（0、c）で、X軸を点（d、d）でカットします。1,0）と（d）2,0）;その後、d1 そしてd2 それらは三項の根です。三項式が単一の根dをもつことが起こるかもしれません、その場合、X軸との唯一のカットは（d、0）になるでしょう.

また、3項式に実根がない場合もあります。この場合、X軸はどの点でもカットされません。.

例えば、x2+6x + 9 =（x + 3）2-9 + 9 =（x + 3）2 頂点が（-3,0）の放物線で、Y軸を（0,9）、X軸を（-3,0）にカットします。.

三項分解

多項式を扱うときに非常に便利なツールは因数分解です。これは、多項式を因数の積として表現することです。一般に、xの三項式を考えると2+bx + c、これに2つの異なる根dがある場合1 そしてd2, それは（x-d）として因数分解することができます1）（x-d）2）.

根dが1つしかない場合は、（x-d）（x-d）=（x-d）のように因数分解できます。2, もしそれが本当のルーツを持っていなければ、それは同じままにされます。この場合それはそれ自身以外の要因の積としての因数分解を支持しない.

これは、すでに確立された形の三項式の根を知ることで、その因数分解を簡単に表すことができることを意味します。すでに述べたように、これらの根は常にresolventを使って決定できます。.

しかし、事前にそのルーツを知る必要なしに因数分解することができるかなりの量のこのタイプの三項があります。そして、それは仕事を単純化します.

根はリゾルバの公式を使う必要なしに因数分解から直接決定することができます。これらはxの多項式です。2 +（ａ ＋ ｂ）ｘ ＋ ａｂ。この場合は、

×2+（a + b）x + ab = x2+ax + bx + ab = x（x + a）+ b（x + a）=（x + b）（x + a）.

ここから、根が-aと-bであることが簡単にわかります。.

言い換えれば、三項xが与えられると2+c = uvとb = u + vのように、uとvの2つの数がある場合、bx + c2+bx + c =（x + u）（x + v）.

つまり、三項xが与えられると2+bx + c、最初に独立した項（c）を掛け算して加算する（または場合によっては減算する）ような2つの数があるかどうかを検証し、x（b）を伴う項を求める.

この方法ですべての三項式でこの方法が適用できるわけではありません。できないところでは、あなたは解決者に行き、前述のものを適用します。.

例

例1

次の3項xを因数分解する2+3x + 2次のように進みます。

2つの数を見つけると、それらを追加したときの結果は3になり、それらを乗算したときの結果は2になります。.

検査を行った後、求められる数は2と1であると結論付けることができます。したがって、x2+3x + 2 =（x + 2）（x + 1）.

例2

三項式xを因数分解する2-5x + 6では、合計が-5で積が6である2つの数を探します。これら2つの条件を満たす数は、-3と-2です。したがって、与えられた3項式の分解は次のようになります。2-5x + 6 =（x-3）（x-2）.

参考文献

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