公理的方法の特徴、ステップ、例



の 公理的方法 あるいは公理とも呼ばれる公理と呼ばれる文や命題が定式化され、控除関係によって互いに関連づけられ、特定のシステムの仮説や条件の基礎となる科学によって使用される正式な手順です。.

この一般的な定義は、この方法論が歴史を通して持ってきた進化の中で組み立てられなければなりません。まず、Euclidから古代ギリシャで生まれ、後でAristotleによって開発された古代の方法やコンテンツがあります。.

第二に、すでに19世紀になって、公理がユークリッドのものとは異なる幾何学の外観。そして最後に、最大指数がDavid Hilbertである形式的または現代の公理的方法.

時間の経過とともにその開発を超えて、この手順はそれが発生したジオメトリとロジックで使用される演繹法の基礎となっています。物理学、化学、生物学でも使用されています.

そしてそれは法科学、社会学そして政治経済学にさえも適用されてきた。しかし、現在最も重要な応用分野は、数学やシンボリックロジック、そして特に熱力学や力学などの物理のいくつかの分野です。.

索引

  • 1特徴 
    • 1.1古い公理的な方法や内容 
    • 1.2非ユークリッド公理法
    • 1.3現代的または形式的公理的方法
  • 2ステップ 
  • 3例
  • 4参考文献

特徴

この方法の基本的な特徴は公理の定式化ですが、これらは常に同じように考慮されているわけではありません。.

任意の方法で定義および構築できるものがいくつかあります。直感的に保証された真実が考慮されているモデルによると.

この違いが何を構成するのか、およびその結果を具体的に理解するためには、この方法の進化を検討する必要があります。.

古い公理的な方法や内容 

それは紀元前5世紀頃に古代ギリシャで設立されたものです。その適用範囲はジオメトリです。この段階の基本的な仕事はユークリッドの要素です、彼の前に、ピタゴラスは公理的な方法をすでに産んだと考えられていますが.

このように、彼らは自明の真実であるので、ギリシア人は論理的証明を必要とせずに、すなわち証明を必要とせずに公理としてある事実を取る。.

彼の部分として、Euclidesは幾何学に関する5つの公理を提示しています。

1-与えられた2点はそれらを含んでいるかそれらを結ぶ線があります.

2 - あらゆる区分は両側の無制限ラインで絶えず続けることができます.

3 - あなたは任意の点と任意の半径に中心を持つ円を描くことができます.

4直角はすべて同じです.

5 - 直線とその中にない点を取ると、それと平行な直線があり、それはその点を含みます。この公理は、後に、平行の公理として知られ、次のようにも宣言されています。線の外側の点によって、単一の平行を描くことができます。.

しかし、ユークリッドと後の数学者の両方が、5番目の公理は他の4つのように直観的に明確ではないことに同意します。ルネサンスの間でさえ、他の4の5番目を推定しようとしていますが、それは不可能です.

これは、すでに19世紀に、5つを維持した人たちがユークリッド幾何学の支持者であり、5つ目を否定した人たちが非ユークリッド幾何学を創造した人たちであることを示しました.

非ユークリッド公理法

矛盾なく、ユークリッドの公理とは異なる公理の体系から来る幾何学を構築する可能性を見いだすのは、まさにニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキー、ヤノス・ボライ、ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウスです。これは公理の絶対的または先験的真理およびそれらから派生する理論への信念を破壊する.

したがって、公理は与えられた理論の出発点として考えられ始めます。また、彼らの選択とそれらの妥当性の問題が何らかの形で公理理論の外の事実に関連し始めます。.

このようにして公理的方法によって構築された幾何学、代数論および算術理論が現れる。.

この段階は、1891年のジュゼッペ・ピアーノのような算術の公理システムの創作で終わりを告げます。 1899年のDavid Hubertの幾何学。 1910年のイギリスでのAlfred North WhiteheadとBertrand Russellのステートメントと述語計算。 1908年のエルンスト・フリードリヒ・フェルディナンド・ツェルメロ組の公理理論.

現代的または形式的公理的方法

正式な公理的方法の概念を開始するのはDavid Hubertであり、それはその最高潮に達する、David Hilbert.

科学的な言葉を正式に表現しているのは正確にヒルベルトです。それらはある解釈において意味を得るだけです.

で」幾何学の基本"この方法論の最初の例を説明します。ここから幾何学は純粋な論理的帰結の科学となり、それはユークリッド系より明確に説明された仮説または公理の系から抽出される.

これは、古いシステムでは公理理論が公理の証拠に基づいているためです。形式理論の基礎はその公理の非矛盾の証明によって与えられるが.

ステップ

科学理論内で公理的構造化を実行する手順は、次のことを認識しています。

a - 特定の数の公理の選択、すなわち証明される必要なしに受け入れられる特定の理論のいくつかの命題.

b - これらの命題の一部である概念は、与えられた理論の枠組みの中では決まらない.

c-与えられた理論の定義と推論の規則は固定されており、理論の中に新しい概念を導入し、他からいくつかの命題を論理的に推論することを可能にする.

d-理論の他の命題、すなわち定理は、cに基づいてaから推定されます。.

例

この方法は、最もよく知られている2つのユークリッド定理、つまり脚の定理と身長の定理を実証することによって検証できます。.

両方とも、このギリシャの幾何学的形状から、高さが斜辺に対して直角三角形内にプロットされると、2つの三角形が元のものよりも多く現れることがわかります。これらの三角形は互いに似ていると同時に原点の三角形と似ています。これは、それぞれの相同側面が比例していると仮定しています。.

このようにして三角形内の合同角度が、ＡＡＡ類似性基準に従って含まれる３つの三角形間に存在する類似性を検証することが分かる。この基準は、2つの三角形がすべて等しい角度を持っている場合、それらは類似していることを示しています。.

三角形が類似していることが示されると、最初の定理で指定された比率が確立されます。それは、直角三角形において、各カテーテルの測定値が斜辺とその中のカテーテルの投影との間の幾何学的な比例平均であると述べている。.

第二定理は高さのそれです。斜辺に従って描かれる高さの直角三角形は、斜辺上の前記幾何平均によって決定されるセグメント間の幾何学的比例平均であることを指定します。.

もちろん、両方の定理は、教育の分野だけでなく、工学、物理学、化学および天文学においても世界中で数多くの応用があります。.

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