離散確率特性の分布と演習



の 離散確率分布 はX（S）= x1、x2、...、xi、...の各要素に代入する関数です。ここで、Xは与えられた離散確率変数、Sはそのサンプル空間です。このイベントが発生する確率です。 f（xi）= P（X = xi）として定義されるX（S）のこの関数fは、確率質量関数と呼ばれることがあります。.

この大量の確率は通常表として表されます。 Xは離散確率変数なので、X（S）は有限個のイベントまたは可算無限大を持ちます。最も一般的な離散確率分布の中には、一様分布、二項分布、ポアソン分布があります。.

索引

  • 1特徴
  • 2種類
    • 2.1 n点にわたる一様分布
    • 2.2二項分布
    • 2.3ポアソン分布
    • 2.4超幾何分布
  • 3練習問題が解決しました
    • 3.1最初の練習
    • 3.2 2回目の演習
    • 3.3第3の演習
    • 3.4 3回目の運動
  • 4参考文献

特徴

確率分布関数は以下の条件を満たす必要があります。

また、Xが有限個の値（たとえば、x 1、x 2、...、x n）のみをとる場合、i> nyの場合、p（x i）= 0であるため、無限級数の条件bは次のようになります。有限級数.

この関数は以下の特性も満たします。

確率変数Xに関連付けられたイベントをBとします。これは、BがX（S）に含まれることを意味します。具体的には、B = xi 1、xi 2、...とします。したがって：

言い換えれば、イベントBの確率は、Bに関連する個々の結果の確率の合計に等しくなります。.

このことから、我々は < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

タイプ

n点にわたる一様分布

確率変数Ｘは、各値に同じ確率が割り当てられている場合、ｎ個の点で一様であることを特徴とする分布に従うと言われている。その確率質量関数は次のとおりです。

考えられる結果が2つある実験があるとします。考えられる結果がフェイスまたはスタンプであるコインを投げること、または結果が偶数または奇数になることができる整数の選択です。この種の実験はベルヌーイ検定として知られています.

一般に、考えられる2つの結果は成功と失敗と呼ばれ、pは成功の確率、1-pは失敗の確率です。次の分布を使用して、互いに独立しているnベルヌーイ検定でx成功の確率を求めることができます。.

二項分布

n個の独立したベルヌーイ検定でx個の成功を得る確率を表す関数で、その成功確率はpです。その確率質量関数は次のとおりです。

次のグラフは、二項分布のパラメーターのさまざまな値に対する確率の関数質量を表します.

次の分布は、その名前がフランスの数学者Simeon Poisson（1781-1840）に由来しています。.

ポアソン分布

以下の確率で、正の整数値0、1、2、3、...を取ることができる場合、確率変数Xはパラメータλのポアソン分布を持つと言われます。

この式で、λは各単位時間内のイベントの発生に対応する平均数であり、xはイベントが発生した回数です。.

その確率質量関数は次のとおりです。

次に、ポアソン分布のパラメーターのさまざまな値に対する確率質量関数を表すグラフ.

成功数が少なく、二項分布で実行される検定の数nが大きい限り、ポアソン分布が二項分布の限界であるため、これらの分布を常に近似できます。.

これら2つの分布の主な違いは、二項式は2つのパラメータ、つまりnとpに依存するのに対し、ポアソンはλのみに依存することで、これは分布の強度と呼ばれることがあります。.

これまでのところ、異なる実験が互いに独立している場合の確率分布についてのみ話しました。つまり、ある結果が他の結果に影響されない場合.

独立していない実験がある場合は、超幾何分布が非常に便利です。.

超幾何分布

有限集合のオブジェクトの総数をNとすると、これらのうちのkを何らかの方法で識別して、残りのN-k個の要素で構成される補集合Kを作成できます。.

n個のオブジェクトをランダムに選択した場合、その選挙でKに属するオブジェクトの数を表す確率変数Xは、パラメータN、n、およびkの超幾何分布を持ちます。その確率質量関数は次のとおりです。

次のグラフは、超幾何分布のパラメータのさまざまな値に対する確率の関数質量を表しています.

解決した演習

最初の運動

ある特定の種類の機器に装着されたラジオチューブが500時間を超えて動作する確率が0.2であるとします。 20本のチューブがテストされた場合、これらのうちの正確にk個が500時間を超えて動作する可能性があります。k= 0、1、2、...、20?

解決策

Xが500時間以上働くチューブの数であるならば、我々はXが二項分布を持つと仮定します。それから

そしてそう：

k≥11の場合、確率は0.001未満です

ですから、これらのkが500時間を超えて動作する確率が、最大値（k = 4）に達してから減少し始めるまで、どのように上がるかがわかります。.

セカンドエクササイズ

コインが6回投げられます。結果が高価であるとき、私たちはそれが成功だと言うでしょう。 2つの顔が正確に出てくる確率はいくらですか?

解決策

この場合、n = 6であり、成功と失敗の確率はどちらもp = q = 1/2です。

したがって、2つの面が与えられる確率（つまり、k = 2）は、

第三の練習

少なくとも4つの顔が見つかる確率はどのくらいですか?

解決策

この場合、k = 4、5、6となります。

第三の練習

工場で生産された商品の2％が不良品だとしましょう。 100個の商品のサンプルに3個の不良品がある確率Pを求めます。.

解決策

この場合、n = 100とp = 0.02の二項分布を適用すると、結果は次のようになります。

ただし、pは小さいので、λ= np = 2のポアソン近似を使用します。だから,

参考文献

  1. カイ・ライチョン確率過程を伴う初等確率論Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H。離散数学とその応用S.A.MCグローヒル/ INTERAMERICANA DEESPAÑA.
  3. ポールL.マイヤー。確率と統計的応用S.A.メキシコのアルハンブラ.
  4. シーモア・リップシュッツPh.D. 2000年離散数学は問題を解いた。マクグローヒル.
  5. シーモア・リップシュッツPh.D.確率の理論と問題マクグローヒル.