合成除算法とその解法



の 合成部門 これは、多項式P（x）をd（x）= x - cの形式のいずれかで除算する簡単な方法です。多項式を分割できることに加えて、任意の数cの多項式P（x）を評価することもできるので、これは非常に便利なツールです。.

除算アルゴリズムのおかげで、2つの多項式があればそれがわかります。 P（x） そして d（x） 定数ではない、多項式があります q（x） そして r（x） Ｐ（ｘ）＝ ｑ（ｘ）ｄ（ｘ）＋ ｒ（ｘ）であることが真実であるように独特であり、ここでｒ（ｘ）はゼロまたはｑ（ｘ）より小さい。これらの多項式は、それぞれ商と剰余または剰余として知られています。.

多項式d（x）がx-cの形式である場合は、合成除算によって、q（x）とr（x）が誰であるかを簡単に見つけることができます。.

索引

  • 1合成分割法
  • 2練習問題が解決しました
    • 2.1例1
    • 2.2例2
    • 2.3例3
    • 2.4例4
  • 3参考文献

合成分割法

Ｐ（ｘ）＝ ａとする。n×n+あるn-1×n-1+... + a1x + a0 分割したい多項式、d（x）= x-cの約数合成分割法で分割するには、次の手順に従います。

1-最初の行にP（x）の係数を書きます。 Xのべき乗が現れない場合は、その係数としてゼロを置きます。.

2- 2行目のの左n 次の図のように、cを配置して分割線を引きます。

3 - 3行目に先行係数を下げます.

この式ではbn-1= an

4- cに先行係数bを掛けるn-1 結果は2行目に書き込まれますが、右側の列に書き込まれます。.

5-前の結果を書いた欄とその合計の下に置いた結果を追加します。つまり、同じ列の3行目.

追加することで、結果としてn-1+c * bn-1, 便宜上、これをbと呼びます。n-2

6-前の結果にcを掛けて、2行目の右側に結果を書き込みます。.

7-係数aに達するまで、ステップ5と6を繰り返します。0.

8-答えを書いてください。つまり、商と剰余です。次数1の多項式の間で次数nの多項式の除算を行っているので、次数n-1の真の商が得られます。.

商多項式の係数は、最後の行を除く3行目の数値になります。最後の行は、残余多項式または除算の余りになります。.

解決した演習

例1

合成除算法で次の除算を行います。

（x5+3倍4-7倍3+2倍2-8x + 1）：（x + 1）.

解決策

まず、配当係数を次のように書きます。

それから、分割線と一緒に、2行目の左側にcを書きます。この例ではc = -1.

先行係数を下げます（この場合、bn-1 = 1）それに-1を掛ける：

以下に示すように、2行目の右側に結果を書き込みます。

2列目に番号を追加します。

2に-1を掛けて、3列目の2行目に結果を書き込みます。

3列目に追加します。

最後のコラムに到達するまで同様に進めます。

したがって、最後に得られた数が除算の残りであり、残りの数が商多項式の係数であることがわかります。これは次のように書かれています。

結果が正しいことを検証したい場合は、次の式が満たされていることを検証すれば十分です。

P（x）= q（x）* d（x）+ r（x）

だから我々は得られた結果が正しいことを検証することができます.

例2

合成除法による次の多項式の除算を実行する

（7倍3-x + 2）：（x + 2）

解決策

この場合、xという用語があります。2 現れないので、その係数として0を書きます。したがって、多項式は7xのようになります。3+0x2-x + 2.

それらの係数を連続して書きます。これは、

2行目の左側にC = -2の値を書き、分割線を引きます。.

先行係数bを下げるn-1 = 7そしてそれを-2で乗算し、その結果を右側の2行目に書きます。.

最後の用語に達するまで、前に説明したように追加して進めます。

この場合、残りはr（x）= - 52で、得られた商はq（x）= 7xです。2-14x + 27.

実施例３

合成除算を使用するもう1つの方法は次のとおりです。次数nの多項式P（x）があり、x = cで評価するときに何が値であるかを知りたいとします。.

除算のアルゴリズムにより、次のように多項式P（x）を書くことができます。

この式で、q（x）とr（x）はそれぞれ商と残りです。さて、d（x）= x - cであれば、多項式の中でcを評価すると次のようになります。

これのために私達はr（x）を見つける必要があるだけであり、これは私達が合成部のおかげですることができる.

たとえば、多項式P（x）= xがあります。7-9倍6+19倍5+12倍4-3倍3+19倍2-37x-37で、x = 5で評価するときにその値が何かを知りたいのです。このために、P（x）とd（x）= x-5の間の合成除算法による除算を実行します。

操作が完了したら、P（x）を次のように書くことができることがわかります。

P（x）=（x）6-4倍5 -×4+ 7倍3 +32倍2 +179x + 858）*（x-5）+ 4253

したがって、それを評価するときには、次のことが必要です。

Ｐ（５）＝（５−４（５）−５ ＋ ７（５）＋３２（５）＋１７９（５）＋８５８）×（５−５）＋ ４２５３

Ｐ（５）＝（５−４（５）−５ ＋ ７（５）＋３２（５）＋１７９（５）＋８５８）×（０）＋ ４２５３

P（5）= 0 + 4253 = 4253

ご覧のとおり、cでxを置き換えるのではなく、cで評価するときに多項式の値を見つけるために合成除算を使用することが可能です。. 

P（5）を従来の方法で評価しようとすると、退屈になりがちな計算をいくつか実行する必要があります。.

実施例４

多項式の除算のアルゴリズムは、複素係数を持つ多項式に対しても実行されます。その結果、合成除法も多項式に対して機能します。次に例を見ます.

合成除算法を使用して、z = 1+ 2iが多項式P（x）= xのゼロであることを示します。3+ （1 + i）x2 -（1 + 2i）x +（15 + 5i）。すなわち、d（x）= x - zの間の除算P（x）の余りはゼロに等しい.

最初の行にP（x）の係数を書き、次に2行目にzを書き、分割線を描きます。.

以前と同じように分割しました。これは、

残差がゼロであることがわかります。したがって、z = 1 + 2iはP（x）のゼロであると結論します。.

参考文献

  1. バルドールアウレリオ. 代数. パトリア編集グループ.
  2. デマナ、ウェイト、フォーリー、ケネディ. 事前計算：グラフ、数値、代数 第7版ピアソン教育.
  3. 解析幾何学によるフレミングWとVarserg D.代数と三角法プレンティスホール
  4. マイケルサリバン. 前計算 第4版ピアソン教育.
  5. 赤アルマンドO. 代数1 第6版アテナエウム.