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ユークリッド幾何学の歴史、基本概念および例
の ユークリッド幾何学 はユークリッドの公理が満足される幾何学的空間の性質の研究に対応する。この用語は、似たような特性を持つ優れた寸法を持つ形状を包含するために使用されることがありますが、通常は古典的な形状または平らな形状と同義です。.
3世紀には。 C.ユークリッドと彼の弟子たちは、 要素, 論理演繹構造を与えられた時間の数学的知識を網羅した作品。それ以来、幾何学は最初は古典的な問題を解決するための科学となり、推論を助ける形成的な科学へと進化しました。.
索引
- 1歴史
- 2基本概念
- 2.1一般的な概念
- 2.2仮説または公理
- 3例
- 3.1最初の例
- 3.2 2番目の例
- 3.3 3番目の例
- 4参考文献
歴史
ユークリッド幾何学の歴史について話すためには、アレクサンドリアのユークリッドと 要素.
アレキサンダー大王の死後、エジプトがプトレマイオス1世の手に渡ったとき、彼はアレクサンドリアの学校で彼のプロジェクトを始めました。.
学校で教えた賢者の中にはEuclidがいました。彼の生年月日はおよそ325歳であると推測されています。 C.と彼の265の死Ｃ．彼がプラトンの学校に行ったことを確実に知ることができる.
30年以上にわたり、ユークリッドはアレクサンドリアで教え、彼の有名な要素を構築しました。彼は彼の時代の数学の徹底的な説明を書き始めました。ユークリッドの教えはアルキメデスやペルガのアポロニウスのような優秀な弟子を生み出しました.
ユークリッドは、古典的なギリシャ人の異なる発見を構築する責任がありました。 要素, しかし、その前任者と違って、それは定理が真実であることを肯定することにそれ自身を限定しない。ユークリッドはデモンストレーションを提供します.
の 要素 それらは13冊の本のまとめです。聖書の後で、それは千以上の版で、最も出版された本です.
の 要素 幾何学の分野におけるユークリッドの傑作であり、二次元（平面）と三次元（空間）の幾何学の決定的な扱いを提供します。.
基本コンセプト
要素は、定義、一般的な概念および仮説（または公理）、それに続く定理、構成、および実証で構成されています。.
- ポイントは部品がないということです.
- 行は幅のない長さです.
- 直線はこの中にある点に関して均等にあるものです.
- 隣接する角度が等しくなるように2本の線を切ると、その角度は直線と呼ばれ、その線は垂直線と呼ばれます。.
- 平行線は、同じ平面内にあるために切断されることがない線です。.
これらと他の定義の後、Euclidは5つの仮説と5つの概念のリストを提示します。.
一般的な概念
- 3分の1に等しい2つのことは互いに等しい.
- 等しいものが同じものに追加された場合、結果は同じです。.
- 同じものから等しいものが引かれると、結果は同じになります。.
- 互いに一致するものは互いに等しい.
- 合計が一部を超えています.
仮説または公理
- 2つの異なる点に対して1つの線だけが通過します.
- 直線は無限に伸びることができます.
- 任意の中心と任意の半径で円を描くことができます.
- すべての直角は同じです.
- 直線が2つの直線と交差し、同じ側の内角が2つ以下の直角にならない場合、2つの線はその側で交差します。.
この最後の仮説は、平行線の仮説として知られており、次のように再公式化されました。.
例
次に、のいくつかの定理 要素 それらはユークリッドの5つの仮定が満たされる幾何学的空間の性質を示すのに役立つでしょう。さらに、彼らはこの数学者によって使用される論理的演繹的推論を説明します.
最初の例
命題１．４。 （LAL）
2つの三角形が2つの辺を持ち、それらの間の角度が等しい場合、他の辺と他の角度は等しくなります。.
デモンストレーション
ABCとA'B'C 'を、AB = A'B'、AC = A'C '、および角度BACとB'A'C'が等しい2つの三角形とします。 A'B 'がABと一致し、角度B'A'C'が角度BACと一致するように、三角形A'B'C 'に移動します。.
次に、線A'C 'は線ACと一致するので、C'はCと一致します。次に、仮定1により、線BCは線B'C 'と一致する必要があります。したがって、2つの三角形は一致し、その結果、それらの角度と辺は等しくなります。.
2番目の例
命題1.5 （ポンアシノラム）
三角形が2つの等しい辺を持つ場合、それらの辺の反対側の角度は等しくなります。.
デモンストレーション
三角形ABCに等しい辺ABとACがあるとします。.
すると、三角形ABDとACDは2つの等しい辺を持ち、それらの間の角度は等しくなります。したがって、命題1.4によって、角度ABDとACDは等しくなります。.
3番目の例
命題1.31
与えられた点で与えられた線に平行な線を引くことができます.
建設
直線Lと点Pを考えると、直線Pを通り抜けて直線Lになる直線Mが描かれます。次に直線Nが直線Pに引かれて直線Lになります。 LがMと形成する角度と等しい角度を形成する.
確認
NはLと平行です.
デモンストレーション
LとNが平行ではなく、点Aで交差すると仮定します。BをAを超えたLの点とします。次に、OとBを通る直線Oを考えます。 2ストレート.
それから1.5で線OはMの反対側の線Lに切られなければならない、それでLとOは2つの点で交差し、それは仮説1と矛盾する。.
参考文献
- ユークリッド幾何学の要素メキシコ国立自治大学
- ユークリッドユークリッドの最初の6冊の本と11番目と12番目の要素
- Eugenio Filloy Yague。ユークリッド幾何学の教授法と歴史イベロアメリカ編集グループ
- K.Ribnikov。数学の歴史ミール社説
- Viloria、N.、およびLeal、J。（2005）Flat Analytical Geometry。ベネズエラC.A社説.