ベクトル代数の基本、大きさ、ベクトル



の ベクトル代数 は線形方程式、ベクトル、行列、ベクトル空間とそれらの線形変換のシステムを研究するための責任がある数学の枝です。工学、微分方程式の解法、機能解析、オペレーションズリサーチ、コンピュータグラフィックスなどの分野に関連しています。.

線形代数を採用しているもう1つの分野は物理学です。これにより、物理現象を研究するために開発され、ベクトルを使用してそれらを説明するからです。これは宇宙のより良い理解を可能にしました.

索引

  • 1基本
    • 1.1幾何学的に
    • 1.2分析的に
    • 1.3公理的に
  • 2等級
    • 2.1スカラー等級
    • 2.2ベクトルの大きさ
  • 3ベクトルとは?
    • 3.1モジュール
    • 3.2住所
    • 3.3センス
  • 4ベクトルの分類
    • 4.1固定ベクトル
    • 4.2自由ベクトル
    • 4.3スライディングベクトル
  • 5ベクトルの性質
    • 5.1等電点ベクトル
    • 5.2等価なベクトル
    • 5.3ベクトルの等価性
    • 5.4反対のベクトル
    • 5.5単位ベクトル
    • 5.6 NULLベクトル
  • 6ベクトルの構成要素
    • 6.1例
  • 7ベクトルを使った演算
    • 7.1ベクトルの加算と減算
    • 7.2ベクトルの乗算
  • 8参考文献

基本

ベクトル代数は、四元数（実数の拡張）1、i、j、およびkの研究、ならびにギブスおよびヘビサイドによって促進された直交座標幾何学の研究から生まれました。様々な物理現象を表す.

ベクトル代数は、3つの基礎を通して研究されます。

幾何学的に

ベクトルは方向を持つ線で表され、加算、減算、実数による乗算などの演算は幾何学的方法で定義されます。.

分析的に

ベクトルとその操作の説明は、コンポーネントと呼ばれる番号で行われます。座標系が使用されるので、このタイプの記述は幾何学的表現の結果です。.

公理的に

座標系や任意の種類の幾何学的表現に関係なく、ベクトルの記述が行われます。.

空間内の数字の研究は、1つ以上の次元の場合がある参照システムでの表現を通じて行われます。主なシステムは次のとおりです。

- 1次元システム。ある点（O）が原点を表し、別の点（P）がスケール（長さ）とその方向を決める線です。

- 直交座標系（2次元）。これは、x軸とy軸と呼ばれる2本の垂直線で構成され、点（O）の原点を通ります。このようにして、平面は象限と呼ばれる4つの領域に分割されます。この場合、平面内の点（P）は、軸とPの間に存在する距離によって与えられます。.

- 極座標系（2次元）この場合、システムは極と呼ばれる点O（原点）と極軸と呼ばれる原点Oを持つ光線で構成されます。この場合、極と極軸を基準とした平面の点Pは、原点と点Pの間の距離によって形成される角度（θ）によって与えられます。.

- 原点として空間内の点Oを持つ3本の垂直線（x、y、z）で形成された長方形の3次元システム。 xy、xz、yzの3つの座標平面が形成されます。空間はオクタントと呼ばれる8つの領域に分割されます。空間の点Ｐの基準は、平面とＰとの間に存在する距離によって与えられる。.

大きさ

マグニチュードは、いくつかの物理現象の場合のように、数値によってカウントまたは測定できる物理量です。それにもかかわらず、数値ではない他の要因でこれらの現象を説明できることがしばしば必要です。そのため、大きさは2つのタイプに分類されます。

スカラー等級

それらは、数値で定義され表現されている量です。つまり、測定単位と一緒にモジュールによって。例えば、

a）時間：5秒.

b）質量：10 kg.

c）容量：40ml.

d）温度：40℃.

ベクトルの大きさ

それらは、ユニットと一緒にモジュールによって定義され表現される量であり、感覚と方向によってもあります。例えば、

a）スピード：（5ȋ - 3ĵ）m / s.

b）加速度：13 m / s2; S45ºE.

c）力：280 N、120º.

d）重量：-40ĵkg-f.

ベクトルの大きさはベクトルでグラフィカルに表現されます.

ベクトルとは?

ベクトルはベクトルの大きさのグラフィック表現です。つまり、それらは直線の線分であり、その最後の端は矢印の先端です。.

これらは、それらのモジュールまたはセグメントの長さ、それらの矢印の先端によって示されるそれらの意味およびそれらが属する線に従ってそれらの方向によって決定される。ベクトルの起源は応用点としても知られています.

ベクトルの要素は次のとおりです。

モジュール

原点からベクトルの終点までの距離で、単位とともに実数で表されます。例えば、

| OM | = | A | = A = 6 cm

住所

x軸（正から）とベクトルの間に存在する角度の尺度であり、基点（北、南、東および西）も使用されます。.

センス

これはベクトルの端にある矢印によって与えられ、これがどこに向かっているかを示します。.

ベクトル分類

一般に、ベクトルは次のように分類されます。

固定ベクトル

それは適用点（起源）が固定されているものです。つまり、それは空間のある点に拘束されたままであるということです。.

無料のベクター

その原点は、モジュール、方向、方向を変えずに任意の点に移動するため、空間内を自由に移動できます。.

スライドベクトル

それは、そのモジュール、センス、または方向を変えることなく、その行動の方向に沿ってその原点を動かすことができるものです。.

ベクトルプロパティ

ベクトルの主な特性は次のとおりです。

等電子ベクトル

それらは同じモジュール、方向を持つ（あるいはそれらは平行である）それらの自由ベクトルであり、滑りベクトルあるいは固定ベクトルであることを意味します。.

同等のベクトル

2つのベクトルが同じアドレス（または並列）、同じ意味を持ち、異なるモジュールやアプリケーションポイントがあるにもかかわらず、それらが同じ効果を引き起こす場合に発生します。.

ベクトルの等価性

開始点が異なっていても、それらは同じモジュール、方向、および意味を持ちます。これにより、パラレルベクトルは影響を与えずに移動できます。.

反対のベクトル

それらは同じモジュールと方向性を持つものですが、それらの意味は反対です.

ベクトル単位

それはモジュールがユニット（1）に等しいものです。これは、ベクトルをそのモジュールで割ることによって得られ、基底または単位化された正規化ベクトルを使用して、平面内または空間内のいずれかでベクトルの方向と方向を決定するために使用されます。

ヌルベクトル

それはモジュールが0に等しいものです。つまり、それらの原点と極値は同じ点で一致します。.

ベクトルの構成要素

ベクトルの成分は、参照系の軸上のベクトルの射影の値です。ベクトルの分解に応じて、それは２次元または３次元の軸上にあり得るが、それぞれ２つまたは３つの成分が得られる。.

ベクトルの要素は実数で、正、負、あるいはゼロ（0）でもかまいません。.

したがって、xy（2次元）平面の直交座標系を原点とするベクトルÂがある場合、x軸上の射影はÂx、y軸上の射影はÂyになります。したがって、ベクトルはその成分ベクトルの合計として表されます。.

例

最初の例

原点から始まるベクトルÂがあり、その端の座標が与えられています。したがって、ベクトルÂ=（Â×; Aそして）=（4; 5）cm.

ベクトルÂが（空間内の）3次元三角座標系x、y、zの原点から別の点（P）まで作用する場合、その軸上の投影はÂx、Ây、およびÂzになります。したがって、ベクトルはその3つの要素ベクトルの合計として表されます。.

2番目の例

原点から始まるベクトルÂがあり、その端の座標が与えられています。したがって、ベクトルÂ=（A×; Aそして。 Az）=（4; 6; -3）cm.

それらの直交座標を有するベクトルは、それらの基本ベクトルによって表すことができる。そのためには、平面と空間に対して次のようになるように、各座標のみにそれぞれの単位ベクトルを乗算する必要があります。

平面の場合：Â= A×i + Aそしてj.

スペースの場合：Â= A×i + Aそしてj + Azk.

ベクトルを使った演算

加速度、速度、変位、力など、モジュール、感覚、方向を持つ大きさがたくさんあります。.

これらは科学のさまざまな分野で適用され、それらを適用するためには、ベクトルやスカラーの加算、減算、乗算、除算などの演算を実行する必要がある場合があります。.

ベクトルの加減算

減算は合計として記述できるため、ベクトルの加算と減算は単一の代数演算と見なされます。たとえば、ベクトルÂとĒの減算は次のように表すことができます。

 - Ē=Â+（ - Ē）

ベクトルの加減算を実行するにはさまざまな方法があります。それらはグラフィカルまたは分析的なものです.

グラフィック方法

ベクトルがモジュール、センス、方向を持つときに使用されます。これを行うために、後で結果を決定するのに役立つ図形を形成する線が描かれます。最も有名なものの中で、次のものが際立っています。

平行四辺形法

２つのベクトルの足し算または引き算をするために、そのモジュール、方向および方向を維持しながら、座標軸上で共通に点が選択される（これはベクトルの原点を表す）。.

次に、平行四辺形を形成するためにベクトルに平行に線が引かれます。結果のベクトルは、両方のベクトルの原点から平行四辺形の頂点までの対角線です。

三角法

この方法では、それらのモジュール、方向および方向を維持しながら、ベクトルを次々に配置する。結果のベクトルは、1番目のベクトルの原点と2番目のベクトルの終点の和集合になります。

分析方法

幾何学的またはベクトル法を使用して、2つ以上のベクトルを加算または減算することができます。

幾何学的方法

2つのベクトルが三角形または平行四辺形を形成するとき、結果のベクトルの係数と方向は正弦と余弦の法則を使用して決定できます。したがって、余弦の法則を適用して三角法によって得られるベクトルのモジュールは、次のようになります。

この公式では、βは辺Rの反対側の角度で、これは180ºに等しくなります。.

対照的に、平行四辺形法では、結果のベクトルモジュールは次のようになります。

結果のベクトルの方向は角度（α）で与えられ、これはベクトルの1つで結果を形成します。.

正弦の法則により、すべての三角形で辺が角度の胸に比例することを知っているので、ベクトルの加算または減算は三角形または平行四辺形法によっても行うことができます。

ベクトル法

これは2つの方法で行うことができます。それらの直交座標またはそれらの基底ベクトルに応じて.

これは、加算または減算されるベクトルを座標の原点に転送してから、平面（x、y）または空間（x、y）の各軸上のすべての射影を転送することによって実行できます。そして、ｚ）。最後に、その要素は代数的に追加されます。だから、飛行機の場合は：

結果のベクトルのモジュールは次のとおりです。

スペースの間それはそれです：

結果のベクトルのモジュールは次のとおりです。

ベクトル合計を実行するとき、いくつかのプロパティが適用されます。

- 連想性：最初に2つのベクトルを追加してから3番目のベクトルを追加しても結果は変わりません.

- 可換性：ベクトルの順序は結果の値を変えません.

- ベクトル分布特性：スカラーに2つのベクトルの合計を乗算すると、各ベクトルのスカラーの乗算に等しくなります。.

- スカラー分布特性：ベクトルに2つのスカラーの合計を乗算すると、各スカラーに対するベクトルの乗算に等しくなります。.

ベクトルの乗算

ベクトルの乗算または積は加算または減算として行うことができますが、そのようにすると物理的な意味がなくなり、アプリケーション内で見つけることはほとんどありません。したがって、一般に最もよく使用される積の種類は、スカラー積とベクトル積です。.

スカラー積

2つのベクトルの内積としても知られています。 2つのベクトルのモジュールに、それらの間に形成される小角の余弦を乗じると、スカラーが得られます。 2つのベクトル間にスカラー積を配置するには、それらの間に点を配置します。これは、次のように定義できます。

2つのベクトル間に存在する角度の値は、それらが平行か垂直かによって異なります。だから、あなたはする必要があります：

- ベクトルが平行で同じ意味を持つ場合、余弦0º= 1.

- ベクトルが平行で反対方向を向いている場合、コサイン180°= -1.

- ベクトルが垂直の場合、余弦90°= 0.

その角度は、次のことを知っていることからも計算できます。

スカラー積には以下の特性があります。

- 可換性：ベクトルの順序はスカラーを変えません.

-分布特性：スカラーが2つのベクトルの合計で乗算される場合、それは各ベクトルのスカラーの乗算に等しい.

ベクター製品

ベクトルの乗算、つまり2つのベクトルAとBの外積は新しいベクトルCになり、ベクトル間の交差を使って表現されます。

新しいベクトルはそれ自身の特性を持ちます。そのように：

- 方向：この新しいベクトルは平面に垂直になります。これは元のベクトルによって決まります。.

- 意味：これは右手の法則によって決定され、ベクトルAは指で回転の方向を向けることによってBに向かって回転され、親指でベクトルの方向がマークされます。.

- モジュールは、これらのベクトル間に存在する最小角度のサインによって、ベクトルAxBのモジュールの乗算によって決定されます。それは表現されます：

2つのベクトル間に存在する角度の値は、それらが平行か垂直かによって異なります。そして、次のことを確認することが可能です。

- ベクトルが平行で同じ意味を持つ場合、sin0º= 0.

- ベクトルが平行で反対方向を向いている場合、正弦180°= 0.

- ベクトルが垂直の場合、正弦90°= 1.

ベクトル積がその基底ベクトルによって表現されるとき、それは以下のことをしなければならない：

スカラー積には以下の特性があります。

- 可換ではありません。ベクトルの順序はスカラーを変更します.

- 分布特性：スカラーが2つのベクトルの合計で乗算される場合、それは各ベクトルのスカラーの乗算に等しい.

参考文献

  1. Altman Naomi、M. K.（2015）。 "単純線形回帰"自然法 .
  2. Angel、A. R.（2007）。初等代数ピアソン教育,.
  3. Arthur Goodman、L.H。（1996）。解析幾何学による代数と三角法ピアソン教育.
  4. Gusiatnikov、P。、およびReznichenko、S（s.f.）。例の代数からベクトルへモスクワ：ミール.
  5. Lay、D. C.（2007）。線形代数とその応用ピアソン教育.
  6. Ｌｌｉｎａｒｅｓ、Ｊ．Ｆ。（２００９）。線形代数：ベクトル空間ユークリッドベクトル空間アリカンテ大学.
  7. Mora、J. F.（2014）。線形代数祖国.