ボルツァーノの定理説明、解決された応用と演習



の ボルツァーノ定理 関数が閉区間[a、b]のすべての点で連続していて、（関数の下の） "a"と "b"のイメージが反対の符号を持つことが満たされるならば、少なくとも1つの点がある"c"で評価された関数が0になるように、開区間（a、b）の "C".

この定理は、1850年に哲学者、神学者、数学者Bernard Bolzanoによって明言されました。この科学者は、今日のチェコ共和国で生まれ、連続関数の性質を正式に証明した最初の数学者の一人です。.

索引

  • 1説明
  • 2デモンストレーション
  • 3それは何のためですか？?
  • 4練習問題が解決しました
    • 4.1演習1
    • 4.2演習2
  • 5参考文献

説明

ボルツァーノの定理は中間値定理としても知られています。これは、実変数の特定の実関数の特定の値、特にゼロの決定に役立ちます。.

与えられた関数では、f（x）は継続します。つまり、f（a）とf（b）は曲線で結ばれます。ここで、f（a）はx軸より下にあり（負の値）、f（b）はx軸より上（正）、またはその逆に、中間値「c」（「a」と「b」の間）およびf（c）の値を表すカットポイントがx軸上にあります。 0になります.

ボルツァーノの定理をグラフィカルに分析することにより、区間[a、b]で定義されるすべての関数f continuousに対して、f（a）がわかります。*f（b）が0未満の場合、区間（a、b）内にその関数の少なくとも1つの根 "c"が存在します。.

この定理は、その開いた区間に存在する点の数を確立するのではなく、少なくとも1つの点があると言うだけです。.

デモンストレーション

ボルツァーノの定理を証明するために、一般性を失うことなくf（a）と仮定されます。 < 0 y f(b) > 0;そのように、 "a"と "b"の間にf（x）= 0の値がたくさんあるかもしれませんが、それがあることを示す必要があるだけです。.

fを中間点（a + b）/ 2で評価することから始めます。 f（（a + b）/ 2）= 0の場合、テストはここで終了します。それ以外の場合、f（（a + b）/ 2）は正または負です。.

区間[a、b]の半分の1つが選択され、両端で評価される関数の符号が異なるようにします。この新しい区間は[a1、b1]になります。.

ここで、[a 1、b 1]の中点で評価されたfがゼロではない場合、以前と同じ操作が実行されます。つまり、記号の条件を満たす間隔の半分が選択されます。この新しい区間になる[a2、b2].

このプロセスが続けば、2つの連続anとbnがとられます。

anは増加し、bnは減少しています。

a≤a1≤a2≤...≤an≤.... ≤... ≤bn≤... ≤b2≤b1≤b.

各区間の長さ[ai、bi]を計算すると、次のようになります。

b1-a1 =（b-a）/ 2.

b2-a2 =（b-a）/ 2².

... .

bn-an =（b-a）/ 2 ^ n.

したがって、nが（bn-an）の無限大になる傾向があるときの限界は0に等しくなります。.

これを使用すると、anは増加して制限され、bnは減少して制限されます。

a≤a1≤a2≤...≤an≤...。≤c≤.... ≤bn≤... ≤b2≤b1≤b.

aの制限は "c"、bnの制限も "c"です。したがって、任意のδ> 0が与えられた場合、区間[an、bn]が区間（c-δ、c +δ）内に含まれるように、常に "n"が存在します。.

さて、f（c）= 0であることを示さなければなりません.

ｆ（ｃ）＞ ０の場合、ｆは連続的であるので、ｆが区間（ｃ −ε、ｃ ＋ε）を通して正になるようなε＞ ０が存在する。しかしながら、上述したように、ｆが［ａ ｎ、ｂ ｎ］の符号を変え、さらに［ａ ｎ、ｂ ｎ］が（ｃ −ε、ｃ ＋ε）内に含まれるような値「ｎ」が存在する。矛盾とは.

f（c）の場合 < 0, entonces como f es continua, existe un ε >fは区間（c-ε、c +ε）を通して負になるように0。しかし、fが[an、bn]の符号を変えるような値 "n"が存在します。 [an、bn]は（c-ε、c +ε）に含まれていることがわかりますが、これも矛盾です。.

したがって、f（c）= 0であり、これが証明したいことです。.

それは何のためですか？?

そのグラフィカルな解釈から、ボルツァーノの定理は、二分法（近似）を通して連続関数の根または零点を見つけるのに使われます。これは、区間を常に2に分割する増分探索法です。.

次に、符号の変化が起こる間隔[a、c]または[c、b]を取り、間隔がどんどん小さくなるまでこのプロセスを繰り返します。そうすれば、希望する値に近づくことができます。つまり、関数が0にする値.

要約すると、ボルツァーノの定理を適用して根を見つける、関数の零点を区切る、または方程式の解を求めるために、以下のステップが実行されます。

- fが区間[a、b]の連続関数かどうかを検証します.

- 区間が与えられていない場合は、関数が連続しているところに見つけるべきです。.

- fで評価したときに区間の両端が反対の符号を与えるかどうかを検証します。.

- 反対の符号が得られない場合、区間は中点を使用して2つの下位区間に分割されるべきです.

- 中間点で関数を評価し、ボルツァーノ仮説が満たされていることを確認します。ここで、f（a） * f（b） < 0.

- 検出された値の符号（正または負）に応じて、前述の仮説が満たされるまで、新しい部分区間でプロセスが繰り返されます。.

解決した演習

演習1

関数f（x）= xかどうかを判定する2 - 2、区間内に少なくとも1つの実数解をもつ[1,2].

解決策

関数f（x）= xがあります。2 - それは多項式であるので、それはそれがあらゆる区間で連続的であることを意味する.

区間[1、2]で実際の解があるかどうかを判断するように求められます。そのため、関数の区間の終わりを置き換えてこれらの符号を調べ、それらが異なるという条件を満たすかどうかを知るだけです。

f（x）= x2 - 2

f（1）= 12 - 2 = -1（負）

f（2）= 22 - 2 = 2（正）

したがって、f（1）の符号≠f（2）の符号.

これは区間[1,2]に属する少なくとも1つの点 "c"があることを保証します、ここでf（c）= 0.

この場合、 "c"の値は次のように簡単に計算できます。

×2 - 2 = 0

x =±√2.

したがって、√2≒1,4は区間[1,2]に属し、f（√2）= 0を満たします。.

演習2

方程式xを証明する5 + x + 1 = 0は少なくとも1つの実数解をもちます.

解決策

最初に注意してくださいf（x）= x5 + x + 1は多項式関数です。つまり、すべての実数で連続しています。.

この場合、区間は与えられないので、関数を評価して符号の変化を見つけるために、直感的に、できれば0に近い値を選択する必要があります。

区間[0、1]を使用する場合は、次のことが必要です。

f（x）= x5 + x + 1.

f（0）= 05 + 0 + 1 = 1> 0.

f（1）= 15 + 1 + 1 = 3> 0.

符号変化がないので、このプロセスは別の間隔で繰り返されます.

区間[-1、0]を使う場合は、

f（x）= x5 + x + 1.

f（-1）=（-1）5 + （-1）+ 1 = -1 < 0.

f（0）= 05 + 0 + 1 = 1> 0.

この区間では符号の変化があります：f（-1）の符号≠f（0）の符号、つまり関数f（x）= x5 + x + 1は、区間[-1、0]内に少なくとも1つの実根 "c"を持ち、f（c）= 0となります。言い換えると、xは5 + x + 1 = 0は区間[-1,0]で実数解をもちます。.

参考文献

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