チェビショフの定理それが構成するもの、応用および例



の チェビシェフの定理 （またはチェビショフの不等式）は、確率論の最も重要な古典的結果の1つです。確率変数の分布ではなくXの分散に依存しない次元を提供することで、確率変数Xに関して記述されたイベントの確率を推定することができます。.

この定理は、ロシアの数学者Pafnuty Chebyshov（ChebychevまたはTchebycheffとも呼ばれる）にちなんで名付けられました。.

この不等式、またはそれらの特性によってチェビショフ不等式と呼ばれるものは、主に次元の計算によって確率を概算するために使用されます。.

索引

  • 1それは何で構成されていますか？?
  • 2アプリケーションと例
    • 2.1境界確率
    • 2.2極限定理のデモンストレーション
    • 2.3サンプルサイズ
  • 3不等式チェビシェフ
  • 4参考文献

それは何で構成されていますか？?

確率論の研究では、確率変数Xの分布関数を知っていれば、その期待値 - または数学的期待値E（X） - とその分散Var（X）を計算することができます。上記の金額が存在します。しかし、その逆数は必ずしも真実ではありません.

すなわち、E（X）とVar（X）を知ることで必ずしもXの分布関数を得ることはできないので、あるk> 0に対してP（| X |> k）のような量を得ることは非常に困難です。しかしチェビショフの不等式のおかげで確率変数の確率を推定することは可能です.

Chebyshovの定理は、確率空間pをもつ標本空間S上に確率変数Xがあり、k> 0であれば、

アプリケーションと例

Chebyshovの定理が持っている多くの応用の中で、以下が言及されることができます：

確率の限界

これは最も一般的なアプリケーションであり、確率関数を知らずに、分散と確率変数Xの期待値のみを使って、P（| X-E（X）|≥k）kの上限を与えるために使用されます。.

例1

1週間に会社で製造される製品の数が平均50個の確率変数であるとします。.

1週間の生産量の分散が25に等しいことがわかっている場合、今週の生産量が平均の生産量の10倍以上異なる可能性について何が言えるでしょうか。?

解決策

チェビショフの不等式を適用すると、次のようになります。

このことから、生産の週に平均して10個を超える記事の数を超える確率は、最大で1/4であることがわかります。.

極限定理のデモンストレーション

チェビショフの不等式は、最も重要な極限定理の証明に重要な役割を果たします。例として、我々は以下を持っています：

多数の弱い法則

この法則は、同じ平均分布E（Xi）=μと分散Var（X）=σを持つ独立した確率変数のシーケンスX 1、X 2、...、X n、...を与えることを確立します。2, そしての既知の平均サンプル：

それからk> 0のためにあなたがしなければならない：

または、同等に

デモンストレーション

まず、次の点に注目しましょう。

X 1、X 2、...、X nは独立しているため、次のようになります。

したがって、次のことを確認することが可能です。

それから、チェビショフの定理を使って、

最後に、この定理は、nが無限大になる傾向があるときに右への制限がゼロになるという事実から生じます。.

このテストはXiの分散が存在する場合にのみ行われたことに注意する必要があります。つまり分岐しません。したがって、E（Xi）が存在する場合、定理は常に真実であることがわかります。.

チェビシェフの極限定理

X 1、X 2、...、X n、...がCがあるような独立した確率変数の連続である場合< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0：

デモンストレーション

一連の分散は一様に制限されているので、すべての自然数nに対してVar（Sn）≦C / nとなります。しかし私達はそれを知っています：

nを無限大にすることで、次のようになります。

確率は１の値を超えることはできないので、所望の結果が得られる。この定理の結果として、我々はベルヌーイの特定の場合を言及することができた.

実験が2つの可能な結果（失敗と成功）で独立してn回繰り返される場合、pは各実験の成功確率、Xは成功の数を表す確率変数です。それぞれのk> 0あなたがする必要があります：

サンプルサイズ

分散に関しては、チェビショフの不等式により、| Sn-μ|> = kが発生する確率が必要なだけ小さくなることを保証するのに十分なサンプルサイズnを見つけることができます。これにより、近似が可能になります。平均する.

正確には、X 1、X 2、... X nをサイズnの独立確率変数のサンプルとし、E（X i）=μとその分散σとします。2. それから、Chebyshovの不等式のために、我々はしなければなりません：

例

X 1、X 2、... X nがベルヌーイ分布を持つ独立した確率変数のサンプルであるとします。そのため、確率p = 0.5で値1を取ります。.

算術平均Snとその期待値（0.1を超える）との差が0以下である確率が0以下であることを保証できるようにするために、標本のサイズを指定します。01?

解決策

E（X）=μ= p = 0.5そしてVar（X）=σ2＝ ｐ（１ − ｐ）＝ ０．２５。チェビショフの不等式のために、任意のk> 0に対して、

さて、k = 0.1、δ= 0.01とすると、

このようにして、イベントの確率| Sn - 0.5 |> = 0.1が0.01未満であることを保証するためには、少なくとも2500のサンプルサイズが必要であると結論付けられます。.

不等式タイプチェビシェフ

チェビショフの不等式に関連してさまざまな不等式があります。最もよく知られているものの1つはマルコフ不等式です。

この式では、Xはk、r> 0の負でない確率変数です。.

マルコフ不等式はさまざまな形を取ります。たとえば、Yを非負の確率変数（P（Y> = 0）= 1）とし、E（Y）=μが存在するとします。また（E（Y））とします。r=μr ある整数r> 1に対して存在する。その後：

もう1つの不等式はGaussのもので、モードがゼロの単峰性確率変数Xが与えられ、k> 0の場合,

参考文献

  1. カイ・ライチョン確率過程を伴う初等確率論Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H。離散数学とその応用S.A.MCグローヒル/ INTERAMERICANA DEESPAÑA.
  3. ポールL.マイヤー。確率と統計的応用S.A.メキシコのアルハンブラ.
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  5. シーモア・リップシュッツPh.D.確率の理論と問題マクグローヒル.