ユークリッドの定理公式、デモンストレーション、応用および演習

の ユークリッドの定理 直角三角形の特性を、2つの直角三角形に分割して互いに類似した元の三角形と似たような線を引くことによって示します。それから、比例関係があります.

ユークリッドは重要な定理のいくつかのデモンストレーションをした古代の偉大な数学者そして幾何学者の一人でした。主なものの一つは、幅広い用途を持っている彼の名前を冠するものです。.

これは、この定理を通して、この三角形の脚が斜辺の射影に関連している直角三角形に存在する幾何学的関係を簡単な方法で説明するためです。.

索引

1式とデモンストレーション
- 1.1高さの定理
- 1.2足の定理
2ユークリッドの定理の関係
3練習問題が解決しました
- 3.1例1
- 3.2例2
4参考文献

式とデモンストレーション

ユークリッドの定理は、すべての直角三角形において、斜辺に対して直角の頂点に対応する高さを表す線を引くと、元の曲線から2つの直角三角形が形成されることを提案しています。.

これらの三角形は互いに似たものになり、また元の三角形にも似たものになります。つまり、それらの類似した辺は互いに比例しています。

3つの三角形の角度は一致しています。つまり、頂点を180度回転させると、角度が一致します。これは皆が平等になることを意味します.

このようにして、3つの三角形の間に存在する類似性を、それらの角度が等しいことによって検証することもできます。三角形の類似性から、ユークリッドは2つの定理からこれらの比率を確立します。

- 高さ定理.

- 足の定理.

この定理は広い応用があります。古さではそれは三角法のための大きい進歩を表す高さか距離を計算するのに使用されていた.

それは現在、他の多くの分野の中でも、工学、物理学、化学、天文学などの数学に基づいているいくつかの分野に適用されています。.

高さ定理

この定理は、任意の直角三角形において、斜辺に対して直角から引かれた高さは、斜辺を決定する脚の投影間の幾何学的な比例平均（高さの二乗）であると述べています。.

つまり、高さの2乗は斜辺を形成する投影された脚の乗算に等しくなります。

時間_c² = m _*n

デモンストレーション

頂点Cの長方形である三角形ABCが与えられると、高さをプロットするとき、2つの同様の直角三角形ADCとBCDが生成されます。したがって、それらの対応する辺は比例しています。

そのような方法で高さh_c これは線分CDに対応し、斜辺AB = cに対応します。

言い換えると、これは以下に対応します。

斜辺をクリアする（h_c）、平等の2つのメンバーを掛けるためには、あなたはしなければなりません：

時間_{c *} 時間_{c =}メートル _*n

時間_c² = m _*n

したがって、斜辺の値は次の式で与えられます。

足の定理

この定理は、任意の直角三角形において、斜辺（完全）の測定とその上のそれぞれの射影との間の幾何学的な比例平均（各脚の二乗）になることを述べています。

b² = c _* メートル

ある² = c_* n

デモンストレーション

高さ（ｈ）をプロットするとき、その斜辺がｃとなるように頂点Ｃにおける長方形である三角形ＡＢＣが与えられると、それぞれセグメントｍおよびｎである脚部ａおよびｂの投影が決定される。斜辺.

したがって、直角三角形ABCに描かれた高さは2つの類似した直角三角形ADCとBCDを生成するので、対応する辺は次のように比例します。

DB = n、これは斜辺に対するCB脚の射影です.

AD = m、これは斜辺上のカテーテルACの投影です.

そして、斜辺cはその射影の足の合計によって決定されます。

c = m + n

三角形ADCとBCDが似ているため、次のことが必要です。

上記と同じです。

平等の2人のメンバーを掛けるために足「a」を片付けることによって、人はしなければなりません：

ある _*a = c_*n

ある² = c_*n

したがって、足 "a"の値は次の式で与えられます。

同様に、三角形ACBとADCの類似性によって、次のことが必要になります。

上記と同じです。

2つの平等の成員を乗じるために足 "b"をクリアすることによって、1つはしなければなりません：

b _*b = c_*メートル

b² = c_*メートル

したがって、足 "b"の値は次の式で与えられます。

ユークリッドの定理間の関係

両方の尺度は直角三角形の斜辺に関して作られているので、身長と脚に関する定理は互いに関係しています。.

ユークリッドの定理の関係を通して、高さの値も見つけることができます。これは、mとnの値を脚の定理から消去することで可能になり、高さの定理で置き換えられます。このようにして、高さは脚の乗算を斜辺で割ったものに等しくなります。

b² = c_*メートル

m = b² ÷c

ある² = c_*n

n = a² ÷c

高さの定理では、mとnは置き換えられます。

時間_c² = m _*n

時間_c² =（b² ÷c） _* （a² ÷c）

時間_c =（b²_* ある²）÷c

解決した演習

例1

ABC = 30cm、BD = 18cmの場合、ACとADの大きさを決定する、三角形のABC、Aの長方形を考えます。

解決策

この場合、投影された脚の1つ（BD）と元の三角形の脚の1つ（AB）の測定値があります。そのようにあなたはBCの足の価値を見つけるために足の定理を適用することができます.

AB² = BD _*紀元前

（30）² = 18 _*紀元前

900 = 18 _*紀元前

BC = 900 ÷ 18年

BC = 50 cm

CD =の値は、BC = 50であることがわかります。

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

今度は、脚の定理を再び適用して、カテーテルACの値を決定することが可能です。

AC² = CD _*BD

AC²= 32 _* 50

AC² = 160

AC =√1600= 40 cm

投影された脚部ＣＤおよびＢＤの値は既知であるので、高さの値（ＡＤ）を決定するために高さ定理が適用される。

AD² = 32 _* 18年

AD² = 576

AD =√576

AD = 24 cm

例2

セグメントの寸法を知って、三角形のMNL、Nの長方形の高さ（h）の値を決定します。

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

解決策

斜辺（PM）に投影された脚の1つの測定値と、元の三角形の脚の測定値があります。このように、他の射影脚（LN）の値を見つけるために脚の定理を適用することができます。

NL² = PM _* LM

（10）² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

脚の値と斜辺の値はすでにわかっているので、身長と脚の定理の関係から身長の値を決めることができます。

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h =（b²_* ある²）÷c.

h =（10²_* 5²） ÷ （20）

h =（100 _* 25） ÷ （20）

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

参考文献

Braun、E.（2011）。カオス、フラクタル、そして奇妙なこと。経済文化基金.
Cabrera、V. M.（1974）。現代数学、第3巻.
Daniel Hernandez、D.P。（2014）。 3年生の数学カラカス：サンティリャーナ.
ブリタニカ百科事典、私。（1995）。ヒスパニック百科事典：マクロペディア。百科事典ブリタニカ出版社.
Euclid、R。P.（1886）。ユークリッドの幾何学的要素.
Guardeño、A. J.（2000）。数学の遺産：ユークリッドからニュートンまで、彼の本を通して天才。セビリア大学.

数学

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