Moivreの定理、デモンストレーションおよび解決済みの演習について

の モイブレの定理 べき乗や複素数での根の抽出など、代数の基本的なプロセスを適用します。定理は有名なフランスの数学者Abraham de Moivre（1730）によって告げられました。.

Abraham Moivreは、胸と余弦の表現を通してこの関連付けを行いました。この数学者は、複素数zを1以上の正の整数であるべき乗nまで上げることができる一種の式を生成しました。.

索引

• 1 Moivreの定理とは何ですか？?
• 2デモンストレーション
  • 2.1誘導ベース
  • 2.2帰納的仮説
  • 2.3確認
  • 2.4負の整数
• 3練習問題が解決しました
  • 3.1正のべき乗の計算
  • 3.2負のべき乗の計算
• 4参考文献

Moivreの定理とは何ですか？?

Moivreの定理は次のように述べています。

極座標形式の複素数がある場合z = r_Ɵ, ここで、rは複素数zのモジュールで、角度θは0≤≤≤2πの任意の複素数の振幅または引数と呼ばれます。つまり、次の製品を作る必要はありません。

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_Ɵ* r_Ɵ* r_{Ɵ* ... *} r_Ɵ   n回.

それどころか、定理は、zを三角関数形式で書くとき、n乗を計算するために、次のように進むと言う。

z = r（cosƟ+ iの場合） _* sinƟ）それからzⁿ = rⁿ （cos n *Ɵ+ i _* sin n *Ɵ）.

たとえば、n = 2の場合、z² = r²[cos 2（Ɵ）+ i sin 2（Ɵ）]。 n = 3なら、z³ = z² _* ｚ。さらに：

z³ = r²[cos 2（Ɵ）+ i sin 2（Ɵ）] _* r [cos 2（Ɵ）+ i sin 2（Ɵ）] = r³[cos 3（Ɵ）+ i sin 3（Ɵ）].

このようにして、角度の三角比が既知である限り、正弦および余弦の三角比は、角度の倍数について得ることができる。.

同じように、複素数zのn乗根について、より正確で分かりにくい表現を見つけるために使うことができます。ⁿ = 1.

Moivreの定理を証明するために、数学的帰納法の原理が使用されます。整数 "a"が特性 "P"を持ち、 "a"より大きい任意の整数 "n"に対して特性 "P"を持つ場合n + 1もプロパティ "P"を持ち、 "a"以上のすべての整数はプロパティ "P"を持つことを満たします。.

デモンストレーション

このようにして、定理の証明は次のステップで行われます。

誘導ベース

最初にn = 1をチェック.

zのように¹ =（r（cosƟ+ i） _* センƟ））¹ = r¹ （cosƟ+ i _* センƟ）¹ = r¹ [cos（1_* Ɵ）+ i _* セン（1_* Ɵ）]、n = 1に対して定理は成り立つ.

帰納的仮説

この公式は、ある正の整数、すなわちn = kに対して真実であると仮定されます。.

z^k =（r（cosƟ+ i） _* センƟ））^k  = r^k （cos kƟ+ i _* センkƟ）.

確認中

n = k + 1に当てはまることが証明されています。.

zのように^{k + 1}= z^k _* z、そしてz^{k + 1} =（r（cosƟ+ i） _* センƟ））^{k + 1} = r^k （coskƟ+ i _* センkƟ） _*  r（cosƟ+ i_* senƟ）.

それから式は乗算する：

z^{k + 1} = r^{k + 1}（（coskƟ）_*（cosƟ）+（coskƟ）_*（私は_*senƟ）+（i _* センkƟ）_*（cosƟ）+（i _* センkƟ）_*（私は_* senƟ））.

しばらくの間、r因子は無視されます^{k + 1},  そして共通因子iは取り除かれる：

（coskƟ）_*（cosƟ）+ i（coskƟ）_*（sinƟ）+ i（senkƟ）_*（cosƟ）+ i²（センkƟ）_*（senƟ）.

どうやって² = -1、式に代入すると次のようになります。

（coskƟ）_*（cosƟ）+ i（coskƟ）_*（sinƟ）+ i（senkƟ）_*（cosƟ） - （senkƟ）_*（senƟ）.

実部と虚部が順序付けされています。

（coskƟ）_*（cosƟ） - （senkƟ）_*（sinƟ）+ i [（senkƟ）_*（cosƟ）+（coskƟ）_*（senƟ）].

式を単純化するために、コサインとサインの角度の和の三角恒等式が適用されます。

cos（A + B）= cos A _* cos B - センA _* センB.

sen（A + B）= sin A _* cos B - cos A _* cos B.

この場合、変数は角度θと角度θです。三角恒等式を適用すると、次のようになります。

coskƟ _* cosƟ -  センkƟ _* senƟ= cos（kƟ+Ɵ）

センkƟ _* cosƟ+ coskƟ _* senƟ= sen（kƟ+Ɵ）

このように、式は残ります。

z^{k + 1} = r^{k + 1} （cos（kƟ+Ɵ）+ i _* セン（kƟ+Ɵ））

z^{k + 1} = r^{k + 1}（cos [（k + 1）Ɵ] + i _* セン[（k + 1）Ɵ]）.

したがって、結果がｎ ＝ ｋ ＋ １に対して正しいことを示すことができる。数学的帰納法の原理により、結果はすべての正の整数に当てはまると結論づけられます。つまり、n≥1.

負の整数

Moivreの定理は、n≤0のときにも適用されます。負の整数 "n"を考えます。その場合、 "n"は "-m"と書くことができます。つまり、n = -mです。ここで、 "m"は正の整数です。したがって：

（cosƟ+ i _* センƟ）ⁿ =（cosƟ+ i _* センƟ） ^{-メートル}

指数 "m"を積極的に得るために、式は逆に書かれます。

（cosƟ+ i _* センƟ）ⁿ = 1÷（cosƟ+ i _* センƟ） ^メートル

（cosƟ+ i _* センƟ）ⁿ = 1÷（cosmƟ+ i _* センmƟ）

今、ｚ ＝ ａ ＋ ｂ ＊ ｉが複素数であるならば、１÷ｚ ＝ ａ − ｂ ＊ ｉであることが使用される。したがって：

（cosƟ+ i _* センƟ）ⁿ = cos（mƟ） - i _* セン（mƟ）.

cos（x）= cos（-x）と-sen（x）= sin（-x）を使って、次のようになります。

（cosƟ+ i _* センƟ）ⁿ = [cos（mƟ） - i _* セン（mƟ）]

（cosƟ+ i _* センƟ）ⁿ = cos（ - mƟ）+ i _* セン（-mƟ）

（cosƟ+ i _* センƟ）ⁿ = cos（nƟ） - i _* セン（nƟ）.

このように、定理は "n"のすべての整数値に適用されると言えます。.

解決した演習

正のべき乗の計算

極座標形式の複素数による演算の1つは、これら2つの間の乗算です。その場合、モジュールは乗算され引数は追加されます.

複素数が2つある場合z₁ そしてz₂ そしてあなたは計算したい（z₁* z₂）², それから私達は次のように進みます。

z₁z₂ = [r₁ （cosƟ₁ + 私は _* センƟ₁）] * [r₂ （cosƟ₂ + 私は _* センƟ₂）]

分配特性が適用されます。

z₁z₂ = r₁ r₂ （cosƟ_{1 *} cosƟ₂ + 私は _* cosƟ_{1 *} 私は _* センƟ₂ + 私は _* センƟ_{1 *} cosƟ₂ + 私は²_* センƟ_{1 *} センƟ₂）.

式の共通の要素として「i」という用語を取り、それらはグループ化されています。

z₁z₂ = r₁ r₂ [cosƟ_{1 *} cosƟ₂ + i（cosƟ_{1 *} センƟ₂ + センƟ_{1 *} cosƟ₂）+ i²_* センƟ_{1 *} センƟ₂]

どうやって² = -1は、次の式で置き換えられます。

z₁z₂ = r₁ r₂ [cosƟ_{1 *} cosƟ₂ + i（cosƟ_{1 *} センƟ₂ + センƟ_{1 *} cosƟ₂） - センƟ_{1 *} センƟ₂]

実数項は実数と、虚数と虚数で再グループ化されます。

z₁z₂ = r₁ r₂ [（cosƟ_{1 *} cosƟ₂ - センƟ_{1 *} センƟ₂）+ i（cosƟ）_{1 *} センƟ₂ + センƟ_{1 *} cosƟ₂）]

最後に、三角関数が適用されます。

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos（Ɵ₁ + Ɵ₂）+ i sen（Ɵ₁ + Ɵ₂）].

結論として：

（z₁* z₂）²=（r₁ r₂ [cos（Ɵ₁ + Ɵ₂）+ i sen（Ɵ₁ + Ɵ₂）]）²

= R₁²r₂²[cos 2 *（Ɵ₁ + Ɵ₂）+ i sen 2 *（Ɵ₁ + Ɵ₂）].

演習1

z = - 2 -2iの場合、複素数を極座標で書きます。次に、Moivreの定理を使って、zを計算します。⁴.

解決策

複素数z = -2 -2iは、長方形の形式z = a + biで表されます。ここで、

a = -2.

b = -2.

極形式がz = r（cosƟ+ i）であることを知る _* sinƟ） "r"モジュールの値と "Ɵ"引数の値を決める必要があります。 r =√（a²+b²）なので、与えられた値は置き換えられます。

r =√（a 2 + b 2）=√（（ - 2）2 +（ - 2）2）

=√（4 + 4）

=√（8）

=√（4 * 2）

=2√2.

次に、 "Ɵ"の値を決定するために、これの長方形の形が適用されます。これは次式で与えられます。

tanƟ= b÷a

tanƟ=（-2）÷（-2）= 1.

黄褐色（Ɵ）= 1であなたは<0, entonces se tiene que:

Ɵ= arctan（1）+Π.

=Π/ 4 +Π

=5Π/ 4.

"r"と "Ɵ"の値はすでに得られているので、複素数z = -2 -2iは、次の値を代入することによって極形式で表すことができます。

z =2√2（cos（5Π/ 4）+ i _* セン（5Π/ 4））.

さて、Moivreの定理を使ってzを計算します。⁴：

z⁴=2√2（cos（5Π/ 4）+ i _* セン（5Π/ 4））⁴

= 32（cos（5Π）+ i _* セン（5Π））.

演習2

複素数の積を極座標形式で表現して見つけます。

z 1 = 4（cos 50^○ + 私は_* 50セン^○）

z2 = 7（cos 100^○ + 私は_* 100セン^○）.

次に、（z 1 * z 2）²を計算します。.

解決策

まず与えられた数の積が形成されます。

z₁ z₂ = [4（cos 50^○ + 私は_* 50セン^○）] * [7（cos 100）^○ + 私は_* 100セン^○）]

それからモジュールを掛け合わせて、引数を追加します。

z₁ z₂ =（4 _* 7）_* [cos（50^○ + 100^○）+ i_* セン（50^○ + 100^○）]

式は単純化されています。

z₁ z₂ = 28 _* （cos 150^○ + （私は_* 150セン^○）.

最後に、Moivreの定理が適用されます。

（z1 * z2）²=（28） _* （cos 150^○ + （私は_* 150セン^○）²= 784（cos 300）^○ + （私は_* 300セン^○））.

負のべき乗の計算

2つの複素数zを除算する₁ そしてz₂ 極座標形式では、モジュールは分割され、引数は減算されます。したがって、商はzです。₁ ÷z₂ そしてそれは次のように表現されます。

z₁ ÷z₂ = r1 / r2（[cos（Ɵ₁- Ɵ₂）+ i sen（Ɵ₁ - Ɵ₂）]）.

前の場合と同様に、最初に（z 1÷z 2）3を計算したい場合は、除算を行い、次にMoivreの定理を使用します。.

演習3

与えられた：

z 1 = 12（cos（3π/ 4）+ i * sin（3π/ 4））,

z 2 = 4（cos（π/ 4）+ i * sin（π/ 4））,

計算する（z1÷z2）³.

解決策

上記のステップに従って、次のように結論付けることができます。

（z1÷z2）³=（（12/4）（cos（3π/ 4 - π/ 4）+ i * sin（3π/ 4 - π/ 4）））³

=（3（cos（π/ 2）+ i * sin（π/ 2）））3

= 27（cos（3π/ 2）+ i * sin（3π/ 2））.

参考文献

1. Arthur Goodman、L.H。（1996）。解析幾何学による代数と三角法ピアソン教育.
2. Croucher、M。（s.f.）。 MoivreのTrigアイデンティティに対する定理から。 Wolframデモンストレーションプロジェクト.
3. Hazewinkel、M.（2001）。数学の百科事典.
4. Max Peters、W. L.（1972）。代数と三角法.
5. Pérez、C. D.（2010）。ピアソン教育.
6. スタンリー、G。（s.f.）。線形代数グローヒル.
7. , M.（1997）。前計算ピアソン教育.