ミレトスのタレスの定理第一、第二および例



最初と二番目 ミレトスのタレスの定理 それらは他の類似したもの(第一定理)または円周(第二定理)から三角形を決定することに基づいています。それらは様々な分野で非常に役に立ちました。たとえば、洗練された測定器がない場合、最初の定理は大きな構造物の測定に非常に有用であることが証明されました。.

Thales of Miletusは、幾何学に多大な貢献をしたギリシャの数学者であり、そのうち2つの定理は際立っています(いくつかのテキストではThalesとも書かれています)およびそれらの有用なアプリケーションこれらの結果は歴史を通して使われてきて、そして多種多様な幾何学的問題を解決することを可能にしました.

索引

  • 1テイルの第一定理
    • 1.1アプリケーション
    • 1.2例
  • 2テイルズの第二定理
    • 2.1アプリケーション
    • 2.2例
  • 3参考文献

テイルズの第一定理

Talesの最初の定理は、他のものと同様に、以前から知られている他のものに似た三角形を作ることを可能にする非常に有用なツールです。ここから複数の文脈で適用することができる定理のさまざまなバージョンを導き出します.

あなたの発言をする前に、三角形の類似性のいくつかの概念を覚えておいてください。基本的に、2つの三角形は、それらの角度が合同であれば似ています(それらは同じ尺度を持っています)。これは、2つの三角形が類似している場合、それらの対応する辺(またはホモログ)は比例しているという事実を引き起こします。.

Thalesの第一定理は、与えられた三角形の中でその辺のいずれかに平行に直線が引かれると、得られる新しい三角形は最初の三角形に似たものになると述べています。.

次の図に示すように、形成された角度間の関係も得られます。.

申し込み

その複数の用途の中でも特に興味深いのは際立っていて、古くから大きな構造物で測定が行われた方法、Thalesが住んでいた方法、そして現代の測定装置が利用できなかった方法の1つと関係がある。彼らは今存在しています.

これが、タレスがいかにしてエジプト、チープの最高のピラミッドを測定したかと言われています。このため、タレスは太陽光線の反射が地面に触れて平行線を形成していると考えた。この仮定の下で、彼は地面に垂直に棒か杖を突き刺しました.

それから、彼は2つの結果として生じる三角形の類似性を使いました。1つはピラミッドの影の長さ(簡単に計算できます)とピラミッドの高さ(未知数)、もう1つは影の長さで形成そしてロッドの高さ(これも簡単に計算できます).

これらの長さの比例関係を使用して、ピラミッドの高さを明確にして知ることができます。.

この測定方法は、高さの正確さに関してかなりの近似誤差を与える可能性があり、太陽光線の平行度に依存しますが(正確な時間に依存します)、それは非常に独創的なアイデアであることを認識しなければなりません。そしてそれは当時の良い測定代替手段を提供した.

それぞれの場合にxの値を求めます。

解決策

ここでは2本の平行線で2本の線を切っています。最初のThalesの定理によれば、それぞれの側面は比例しています。特に:

解決策

ここには二つの三角形があり、そのうちの一つは他の一つの辺(正確には長さxの辺)に平行な線分によって形成されています。テイルズの最初の定理によってあなたはしなければならない:

物語の第二定理

タレスの第二定理は、同じ点の各点の円周に内接する直角三角形を決定する.

円周に内接する三角形は、頂点が円周上にある三角形です。.

具体的には、Thalesの第2定理は次のように述べている。中心Oと直径ACの円を与えられて、円周の各点B(AとC以外)は直角の直角三角形ABCを決定する

正当化のために、OAとOBとOCの両方が円周の半径に対応することに注意してください。したがって、それらの寸法は同じです。そこから、三角形OABおよびOCBは二等辺三角形であることが得られる。

三角形の角度の合計は180°に等しいことが知られています。これを三角形ABCと一緒に使うには:

2b + 2a =180º.

同様に、b + a =90ºとb + a =があります。

Thalesの第2定理によって提供される直角三角形は、正確にその斜辺が円周の直径に等しいということに注意してください。したがって、それは三角形の点を含む半円によって完全に決定されます。この場合、上半円.

また、Thalesの第2定理によって得られる直角三角形では、斜辺はOAとOC(半径)によって2つの等しい部分に分割されます。言い換えると、この尺度は線分OB(半径も)に等しく、これは三角形ABCの​​中央値Bに対応します。.

言い換えれば、頂点Bに対応する直角三角形ABCの中央値の長さは、斜辺の半分によって完全に決まる。三角形の中央値は、頂点の1つから反対側の辺の中点までのセグメントです。この場合、BOセグメント.

外接円周

タレスの第二定理を見るもう一つの方法は、直角三角形に外接する円を通ることです。.

一般に、多角形に外接する円は、それをたどることが可能であるときはいつでも、その各頂点を通る円周からなる。.

直角三角形が与えられると、Thalesの2番目の定理を使用して、これに外接する円を、斜辺の半分に等しい半径と斜辺の中点に等しい円周(円周の中心)で構成することができます。.

申し込み

Talesの第2定理の、そしておそらく最もよく使われている、第2定理の非常に重要な応用は、与えられた円周に対する接線を、これの外部の点Pで見つけることです(知られている).

円周(下図では青で描かれている)と外側の点Pを考えると、Pを通る円周に接する2本の線があります。TとT 'を接線の点、rの円周の半径とします。または中心.

円の中心からそれの接線の点まで行く線分は、この接線に垂直であることが知られています。それから、OTPの角度はまっすぐです.

私たちがタレスの最初の定理とその異なった版で先に見たことから、我々は別の円周上にOTP三角形を刻むことが可能であることがわかる(赤)。.

同様に、OT'P三角形は同じ前の円周内に内接することができることが得られる。.

Thalesの2番目の定理により、この新しい円周の直径は正確に三角形OTPの斜辺(これは三角形OT'Pの斜辺と等しい)であり、中心はこの斜辺の中点であることがわかります。.

新しい円周の中心を計算するには、最初の円周の中心(たとえばM)と(私たちも知っている)点Pの間の中点を計算すれば十分です。そして、半径はこの点MとPの間の距離になります。.

赤い円の半径と中心から、そのデカルト方程式を見つけることができます。これは(x-h)で与えられます。2 + (y-k)2 = c2, ここでcは半径、点(h、k)は円の中心です。.

ここで両方の円周の方程式を知っているので、これらによって形成された連立方程式を解くことによってそれらを交差させることができ、したがって接線の点TおよびT 'を得ることができます。最後に、望みの接線を知るためには、TとPを通り、T 'とPを通る直線の方程式を見つければ十分です。.

直径AC、中心O、半径1 cmの円周を考えます。 AB = ACとなるように、円周上の点をBとします。 ABはいくら測定しますか?

解決策

Thalesの2番目の定理により、三角形ABCは長方形で斜辺は直径に対応します。この場合、直径は2 cm(半径は1 cm)です。それから、ピタゴラスの定理によって、我々はしなければなりません:

参考文献

  1. Ana Lira、P. J.(2006). 幾何学と三角法. Zapopan、Jalisco:しきい値エディション.
  2. Goodman、A.、&Hirsch、L.(1996). 解析幾何学による代数と三角法. ピアソン教育.
  3. グティエレス、Á。 Á。 (2004年). 米国における数学の方法論と応用. 文部省.
  4. IGER (2014). 数学第2学期Zaculeu. グアテマラ:IGER.
  5. JoséJiménez、L. J.(2006). 数学2. Zapopan、Jalisco:しきい値エディション.
  6. M.、S.(1997). 三角法および分析幾何学. ピアソン教育.
  7. Pérez、M. A.(2009). 数学の歴史:彼らの性格を通した挑戦と征服. エディトリアルビジョンブック.
  8. Viloria、N.、&Leal、J.(2005). フラット分析幾何学. ベネズエラの社説C. A.