数学 - ページ 2
バリニヨンの定理の例と解法
の バリニヨンの定理 四辺形で点が辺に連続して結合されている場合は、平行四辺形が生成されることを証明します。この定理はPierre Varignonによって公式化され、1731年に出版されました。 数学の要素「.この本の出版は彼の死後何年も経った。 Varignonがこの定理を提示した人だったので、平行四辺形は彼にちなんで名付けられました。この定理はユークリッド幾何学に基づいており、四辺形の幾何学的関係を表しています。.索引1バリニヨンの定理とは何ですか？?2例2.1最初の例2.2 2番目の例3練習問題が解決しました3.1演習13.2演習23.3演習34参考文献 バリニヨンの定理は何ですか？?Varignonは、四辺形の中点で定義された図形は常に平行四辺形になると主張し、この面積が四角形の面積が平らで凸形であれば常にその半分になります。例えば、この図では、辺の中点がE、F、G、およびHで表され、それらが結合されると平行四辺形を形成する領域Xを持つ四辺形を見ることができます。四辺形の面積は、形成された三角形の面積の合計になり、この半分は平行四辺形の面積に対応します。.平行四辺形の面積は四辺形の面積の半分であるため、その平行四辺形の周囲長を求めることができます。.したがって、周囲長は四辺形の対角線の長さの合計に等しくなります。これは、四辺形の中央値が平行四辺形の対角線になるためです。.一方、四辺形の対角線の長さがまったく同じであれば、平行四辺形はひし形になります。例えば、 図から、四辺形の辺の中点を結ぶことによって、菱形が得られることが分かる。一方、四辺形の対角線が垂直の場合、平行四辺形は長方形になります。.また、四辺形の対角線の長さが同じで、垂直でもある場合、平行四辺形は正方形になります。.この定理は平らな四辺形で満たされるだけでなく、空間幾何学や大次元でも実行されます。つまり、凸ではない四辺形です。この例としては、中点が各面の重心であり、平行六面体を形成する八面体があります。.このように、異なる図形の中点を結ぶことによって、平行四辺形を得ることができます。これが本当に当てはまるかどうかを確認する簡単な方法は、それらが拡張されるときに反対側が平行でなければならないということです。.例最初の例それが平行四辺形であることを示すための反対側の延長2番目の例菱形の中点を結ぶことによって長方形を得ます：この定理は、四辺形の辺の中央にある点の和集合で使用され、三等分、五分の一区画、さらには無限の数の区画など、他の種類の点にも使用できます。四辺形の辺を比例するセグメントに分割するために.解決した演習演習1この図では、この辺の中点がPQSRである領域Zの四辺形ABCDがあります。 Varignonの平行四辺形が形成されていることを確認します.解決策PQSR点を結合すると、バリニヨンの平行四辺形が形成されることが検証できます。これは、ステートメント内で四辺形の中点が与えられるためです。.これを実証するために、中間点ＰＱＳＲが結合されているので、別の四辺形が形成されていることが分かる。それが平行四辺形であることを示すためには、単に点Cから点Aへ直線を引く必要があるので、CAはPQとRSに平行であることがわかります。.同様に、PQRS側を拡張することにより、次の図に示すように、PQとRSが平行であることがわかります。演習2それはそのすべての辺の長さが等しくなるような長方形を持っています。これらの辺の中点を結ぶと、長方形の辺の寸法と一致する2つの対角線AC = 7cmとBD = 10cmで分割される菱形ABCDが形成されます。菱形と四角形の領域を決定する.解決策結果として得られる平行四辺形の面積は四辺形の半分であることを思い出してください。対角線の大きさが長方形の辺と一致することを確認すれば、これらの面積を決定できます。だからあなたはする必要があります：AB = D CD = dA四角形 =（AB...
ミレトスのタレスの定理第一、第二および例
最初と二番目 ミレトスのタレスの定理 それらは他の類似したもの（第一定理）または円周（第二定理）から三角形を決定することに基づいています。それらは様々な分野で非常に役に立ちました。たとえば、洗練された測定器がない場合、最初の定理は大きな構造物の測定に非常に有用であることが証明されました。.Thales of Miletusは、幾何学に多大な貢献をしたギリシャの数学者であり、そのうち2つの定理は際立っています（いくつかのテキストではThalesとも書かれています）およびそれらの有用なアプリケーションこれらの結果は歴史を通して使われてきて、そして多種多様な幾何学的問題を解決することを可能にしました. 索引1テイルの第一定理1.1アプリケーション1.2例2テイルズの第二定理2.1アプリケーション2.2例3参考文献 テイルズの第一定理Talesの最初の定理は、他のものと同様に、以前から知られている他のものに似た三角形を作ることを可能にする非常に有用なツールです。ここから複数の文脈で適用することができる定理のさまざまなバージョンを導き出します.あなたの発言をする前に、三角形の類似性のいくつかの概念を覚えておいてください。基本的に、2つの三角形は、それらの角度が合同であれば似ています（それらは同じ尺度を持っています）。これは、2つの三角形が類似している場合、それらの対応する辺（またはホモログ）は比例しているという事実を引き起こします。.Thalesの第一定理は、与えられた三角形の中でその辺のいずれかに平行に直線が引かれると、得られる新しい三角形は最初の三角形に似たものになると述べています。.次の図に示すように、形成された角度間の関係も得られます。. 申し込みその複数の用途の中でも特に興味深いのは際立っていて、古くから大きな構造物で測定が行われた方法、Thalesが住んでいた方法、そして現代の測定装置が利用できなかった方法の1つと関係がある。彼らは今存在しています.これが、タレスがいかにしてエジプト、チープの最高のピラミッドを測定したかと言われています。このため、タレスは太陽光線の反射が地面に触れて平行線を形成していると考えた。この仮定の下で、彼は地面に垂直に棒か杖を突き刺しました.それから、彼は2つの結果として生じる三角形の類似性を使いました。1つはピラミッドの影の長さ（簡単に計算できます）とピラミッドの高さ（未知数）、もう1つは影の長さで形成そしてロッドの高さ（これも簡単に計算できます）.これらの長さの比例関係を使用して、ピラミッドの高さを明確にして知ることができます。.この測定方法は、高さの正確さに関してかなりの近似誤差を与える可能性があり、太陽光線の平行度に依存しますが（正確な時間に依存します）、それは非常に独創的なアイデアであることを認識しなければなりません。そしてそれは当時の良い測定代替手段を提供した.例それぞれの場合にxの値を求めます。解決策ここでは2本の平行線で2本の線を切っています。最初のThalesの定理によれば、それぞれの側面は比例しています。特に：解決策ここには二つの三角形があり、そのうちの一つは他の一つの辺（正確には長さxの辺）に平行な線分によって形成されています。テイルズの最初の定理によってあなたはしなければならない：物語の第二定理タレスの第二定理は、同じ点の各点の円周に内接する直角三角形を決定する.円周に内接する三角形は、頂点が円周上にある三角形です。.具体的には、Thalesの第2定理は次のように述べている。中心Oと直径ACの円を与えられて、円周の各点B（AとC以外）は直角の直角三角形ABCを決定する 正当化のために、OAとOBとOCの両方が円周の半径に対応することに注意してください。したがって、それらの寸法は同じです。そこから、三角形ＯＡＢおよびＯＣＢは二等辺三角形であることが得られる。 三角形の角度の合計は180°に等しいことが知られています。これを三角形ABCと一緒に使うには：2b + 2a =180º.同様に、b + a =90ºとb + a =があります。 Thalesの第2定理によって提供される直角三角形は、正確にその斜辺が円周の直径に等しいということに注意してください。したがって、それは三角形の点を含む半円によって完全に決定されます。この場合、上半円.また、Thalesの第2定理によって得られる直角三角形では、斜辺はOAとOC（半径）によって2つの等しい部分に分割されます。言い換えると、この尺度は線分OB（半径も）に等しく、これは三角形ABCの中央値Bに対応します。.言い換えれば、頂点Ｂに対応する直角三角形ＡＢＣの中央値の長さは、斜辺の半分によって完全に決まる。三角形の中央値は、頂点の1つから反対側の辺の中点までのセグメントです。この場合、BOセグメント.外接円周タレスの第二定理を見るもう一つの方法は、直角三角形に外接する円を通ることです。.一般に、多角形に外接する円は、それをたどることが可能であるときはいつでも、その各頂点を通る円周からなる。.直角三角形が与えられると、Thalesの2番目の定理を使用して、これに外接する円を、斜辺の半分に等しい半径と斜辺の中点に等しい円周（円周の中心）で構成することができます。.申し込みTalesの第2定理の、そしておそらく最もよく使われている、第2定理の非常に重要な応用は、与えられた円周に対する接線を、これの外部の点Pで見つけることです（知られている）.円周（下図では青で描かれている）と外側の点Pを考えると、Pを通る円周に接する2本の線があります。TとT...
Moivreの定理、デモンストレーションおよび解決済みの演習について
の モイブレの定理 べき乗や複素数での根の抽出など、代数の基本的なプロセスを適用します。定理は有名なフランスの数学者Abraham de Moivre（1730）によって告げられました。.Abraham Moivreは、胸と余弦の表現を通してこの関連付けを行いました。この数学者は、複素数zを1以上の正の整数であるべき乗nまで上げることができる一種の式を生成しました。.索引1 Moivreの定理とは何ですか？?2デモンストレーション2.1誘導ベース2.2帰納的仮説2.3確認2.4負の整数3練習問題が解決しました3.1正のべき乗の計算3.2負のべき乗の計算4参考文献 Moivreの定理とは何ですか？?Moivreの定理は次のように述べています。極座標形式の複素数がある場合z = rƟ, ここで、rは複素数zのモジュールで、角度θは0≤≤≤2πの任意の複素数の振幅または引数と呼ばれます。つまり、次の製品を作る必要はありません。Zn = z * z * z* ... * z =...
ラミーの定理（解答付き）
の ラミーの定理 剛体が平衡状態にあり、3つの同一平面上の力（同じ平面内にある力）の作用を受けたとき、その作用線が同じ点で一致することを証明します。.定理はフランスの物理学者そして宗教的なBernard Lamyによって推論され、胸の法則から生じた。それは角度の値、力の作用線の値を見つけるため、または力の三角形を形成するために非常に使用されます。.索引1ラミーの定理2運動を解いた2.1解決策3参考文献 ラミーの定理定理は、平衡条件が満たされるためには力が同一平面上になければならないと述べています。つまり、ある点にかかる力の合計はゼロです。.さらに、次の図で観察されるように、これら3つの力の作用線を延長するとき、それらは同じ点で一致することが満たされます。. したがって、3つの力が同じ平面にあり、同時に発生している場合、各力の大きさは反対側の角度の正弦に比例し、他の2つの力によって形成されます。.したがって、αの正弦から始まるT1はT2 /βの比に等しく、これは次にT3 / ofの比に等しくなります。したがって、力の各ペアを形成する角度が120ºに等しい場合、これら3つの力のモジュールは等しくなければなりません。.角度の1つが鈍角である可能性があります（90の間の測定0 と1800）その場合、その角度の正弦は補助角度の正弦に等しくなります（そのペアでそれは180を測定します0）.決まった運動図に示すように、水平に対して角度を成すいくつかの紐からぶら下がっている２つのブロックＪおよびＫによって形成されたシステムがある。システムは平衡状態にあり、ブロックJの重量は240 Nです。ブロックKの重量を決定します。.解決策作用と反応の原理により、ブロック1と2にかかる張力はこれらの重量に等しくなります。.これで、ブロックごとに自由体図が作成され、システムを構成する角度が決まります。.AからBに向かうロープの角度は30度であることが知られています。0 , それを補完する角度が60に等しくなるように0 . そのようにあなたは90に到達します0.一方、点Aがある場所では、60度の角度があります。0 水平方向に関して。垂直とTの間の角度A それは= 180になります0 - 600 - 900 =...
ユークリッドの定理公式、デモンストレーション、応用および演習
の ユークリッドの定理 直角三角形の特性を、2つの直角三角形に分割して互いに類似した元の三角形と似たような線を引くことによって示します。それから、比例関係があります.ユークリッドは重要な定理のいくつかのデモンストレーションをした古代の偉大な数学者そして幾何学者の一人でした。主なものの一つは、幅広い用途を持っている彼の名前を冠するものです。.これは、この定理を通して、この三角形の脚が斜辺の射影に関連している直角三角形に存在する幾何学的関係を簡単な方法で説明するためです。.索引1式とデモンストレーション1.1高さの定理1.2足の定理2ユークリッドの定理の関係3練習問題が解決しました3.1例13.2例24参考文献 式とデモンストレーションユークリッドの定理は、すべての直角三角形において、斜辺に対して直角の頂点に対応する高さを表す線を引くと、元の曲線から2つの直角三角形が形成されることを提案しています。. これらの三角形は互いに似たものになり、また元の三角形にも似たものになります。つまり、それらの類似した辺は互いに比例しています。3つの三角形の角度は一致しています。つまり、頂点を180度回転させると、角度が一致します。これは皆が平等になることを意味します.このようにして、3つの三角形の間に存在する類似性を、それらの角度が等しいことによって検証することもできます。三角形の類似性から、ユークリッドは2つの定理からこれらの比率を確立します。- 高さ定理.- 足の定理.この定理は広い応用があります。古さではそれは三角法のための大きい進歩を表す高さか距離を計算するのに使用されていた. それは現在、他の多くの分野の中でも、工学、物理学、化学、天文学などの数学に基づいているいくつかの分野に適用されています。.高さ定理この定理は、任意の直角三角形において、斜辺に対して直角から引かれた高さは、斜辺を決定する脚の投影間の幾何学的な比例平均（高さの二乗）であると述べています。.つまり、高さの2乗は斜辺を形成する投影された脚の乗算に等しくなります。時間c2 = m * nデモンストレーション頂点Cの長方形である三角形ABCが与えられると、高さをプロットするとき、2つの同様の直角三角形ADCとBCDが生成されます。したがって、それらの対応する辺は比例しています。そのような方法で高さhc これは線分CDに対応し、斜辺AB = cに対応します。 言い換えると、これは以下に対応します。斜辺をクリアする（hc）、平等の2つのメンバーを掛けるためには、あなたはしなければなりません：時間c * 時間c = メートル...
チェビショフの定理それが構成するもの、応用および例
の チェビシェフの定理 （またはチェビショフの不等式）は、確率論の最も重要な古典的結果の1つです。確率変数の分布ではなくXの分散に依存しない次元を提供することで、確率変数Xに関して記述されたイベントの確率を推定することができます。.この定理は、ロシアの数学者Pafnuty Chebyshov（ChebychevまたはTchebycheffとも呼ばれる）にちなんで名付けられました。.この不等式、またはそれらの特性によってチェビショフ不等式と呼ばれるものは、主に次元の計算によって確率を概算するために使用されます。.索引1それは何で構成されていますか？?2アプリケーションと例2.1境界確率2.2極限定理のデモンストレーション2.3サンプルサイズ3不等式チェビシェフ4参考文献 それは何で構成されていますか？?確率論の研究では、確率変数Xの分布関数を知っていれば、その期待値 - または数学的期待値E（X） - とその分散Var（X）を計算することができます。上記の金額が存在します。しかし、その逆数は必ずしも真実ではありません.すなわち、E（X）とVar（X）を知ることで必ずしもXの分布関数を得ることはできないので、あるk> 0に対してP（| X |> k）のような量を得ることは非常に困難です。しかしチェビショフの不等式のおかげで確率変数の確率を推定することは可能です.Chebyshovの定理は、確率空間pをもつ標本空間S上に確率変数Xがあり、k> 0であれば、アプリケーションと例Chebyshovの定理が持っている多くの応用の中で、以下が言及されることができます：確率の限界これは最も一般的なアプリケーションであり、確率関数を知らずに、分散と確率変数Xの期待値のみを使って、P（| X-E（X）|≥k）kの上限を与えるために使用されます。.例11週間に会社で製造される製品の数が平均50個の確率変数であるとします。. 1週間の生産量の分散が25に等しいことがわかっている場合、今週の生産量が平均の生産量の10倍以上異なる可能性について何が言えるでしょうか。?解決策チェビショフの不等式を適用すると、次のようになります。このことから、生産の週に平均して10個を超える記事の数を超える確率は、最大で1/4であることがわかります。.極限定理のデモンストレーションチェビショフの不等式は、最も重要な極限定理の証明に重要な役割を果たします。例として、我々は以下を持っています：多数の弱い法則この法則は、同じ平均分布E（Xi）=μと分散Var（X）=σを持つ独立した確率変数のシーケンスX 1、X 2、...、X n、...を与えることを確立します。2, そしての既知の平均サンプル：それからk>...
ボルツァーノの定理説明、解決された応用と演習
の ボルツァーノ定理 関数が閉区間[a、b]のすべての点で連続していて、（関数の下の） "a"と "b"のイメージが反対の符号を持つことが満たされるならば、少なくとも1つの点がある"c"で評価された関数が0になるように、開区間（a、b）の "C".この定理は、1850年に哲学者、神学者、数学者Bernard Bolzanoによって明言されました。この科学者は、今日のチェコ共和国で生まれ、連続関数の性質を正式に証明した最初の数学者の一人です。.索引1説明2デモンストレーション3それは何のためですか？?4練習問題が解決しました4.1演習14.2演習25参考文献 説明ボルツァーノの定理は中間値定理としても知られています。これは、実変数の特定の実関数の特定の値、特にゼロの決定に役立ちます。.与えられた関数では、f（x）は継続します。つまり、f（a）とf（b）は曲線で結ばれます。ここで、f（a）はx軸より下にあり（負の値）、f（b）はx軸より上（正）、またはその逆に、中間値「c」（「a」と「b」の間）およびf（c）の値を表すカットポイントがx軸上にあります。 0になります.ボルツァーノの定理をグラフィカルに分析することにより、区間[a、b]で定義されるすべての関数f continuousに対して、f（a）がわかります。*f（b）が0未満の場合、区間（a、b）内にその関数の少なくとも1つの根 "c"が存在します。.この定理は、その開いた区間に存在する点の数を確立するのではなく、少なくとも1つの点があると言うだけです。.デモンストレーションボルツァーノの定理を証明するために、一般性を失うことなくf（a）と仮定されます。 0;そのように、 "a"と "b"の間にf（x）= 0の値がたくさんあるかもしれませんが、それがあることを示す必要があるだけです。.fを中間点（a + b）/ 2で評価することから始めます。 f（（a +...
ベイズの定理の説明、応用、演習
の ベイズの定理 Aが与えられたイベントBの確率分布とAのみが与えられた確率分布の観点から、Bが与えられたランダムイベントAの条件付き確率を表すことができる手続きです。.この定理は非常に有用です。なぜなら、それが原因で、Bが発生したことを知っているイベントAが発生する確率と、逆のことが起こる確率、つまりAが与えられたときにBが発生する確率とを関連付けることができるからです。.ベイズの定理は、数学者でもあった18世紀の英国の神学者トーマスベイズ牧師による銀の命題でした。彼は神学におけるいくつかの作品の著者であったが、現在、前述のベイズの定理が主な結果として際立っている、2、3の数学的論文で知られている。.1763年に出版された「可能性の教義における問題の解決に向けてのエッセイ」と題された論文において、ベイズはこの定理を扱い、そして可能性の教義における問題を解決するために大きな作品が開発された。様々な知識分野での応用に関する研究.索引1説明2ベイズの定理の応用2.1解決済みの課題3参考文献説明まず、この定理をさらに理解するためには、確率論のいくつかの基本的な概念、特に条件付き確率のための乗算定理が必要です。サンプル空間SのEおよびA任意イベント.そしてパーティションの定義。これはAがあれば1 ,A2,...、An サンプル空間Sのイベント、これらがAの場合、Sのパーティションを形成します。私は それらは相互に排他的であり、それらの連合はSです。.これを持って、Bを別の出来事としましょう。それで、BをどこA私は Bと交差するのは相互に排他的なイベントです.そしてその結果, 次に、乗算定理を適用します一方、Bに対するAiの条件付き確率は、次のように定義されます。適切に置き換えればベイズの定理の応用この結果のおかげで、研究グループや多様な企業は、知識に基づくシステムを改善することに成功しました。.例えば、病気の研究において、ベイズの定理は、世界的な病気の発生率とその特徴の優位性をデータとして取り、与えられた特徴を持つ人々の集団で病気が見つかる確率を見分けるのに役立ちます。健康と病気の両方の人々.一方、高度な技術の世界では、この結果のおかげで、ソフトウェアに基づいて開発されている大企業に影響を与えている "知識に基づいて".毎日の例として、Microsoft Officeのアシスタントがいます。ベイズの定理は、ソフトウェアがユーザが提示する問題を評価し、どんなアドバイスを提供するべきかを決定するのを助け、したがって、ユーザの習慣に従ってより良いサービスを提供することができるようにする。.この式は最近まで無視されていましたが、これは主にこの結果が200年前に開発されたときにはほとんど実用的ではなかったという事実によるものです。しかし、私たちの時代には、技術的な進歩のおかげで、科学者たちはこの結果を実践に移す方法を達成しました。.解決した演習演習1ある携帯電話会社には2台のマシンAとBがあります。製造された携帯電話の54％はマシンAによって製造され、残りはマシンBによって製造されています。. Aで製造された欠陥のある携帯電話の割合は0.2であり、Bによる製造は0.5です。その工場の携帯電話に欠陥がある可能性はどのくらいですか？携帯電話に欠陥があることを知って、マシンAから来る可能性は何ですか?解決策ここでは、2つの部分で行われる実験があります。最初の部分ではイベントが発生します。A：マシンA製の携帯電話.B：マシンB製の携帯電話.マシンAは携帯電話の54％を生産し、残りはマシンBによって生産されるので、マシンBは携帯電話の46％を生産します。これらの事象の確率、すなわち、P（A）= 0.54.P（B）= 0.46.実験の後半部分のイベントは次のとおりです。D：不良セル.Ｅ：良品セル.それが声明で言われるように、これらの出来事の確率は最初の部分で得られた結果に依存します：P（D | A）= 0.2.P（D | B）= 0.5.これらの値を使用して、これらのイベントの補数の確率を決定することもできます。 P（E |...
